Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D．
（1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的關(guān)于AB、AC對(duì)稱點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于點(diǎn)G；
（2）求證：四邊形AEGF是正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換,正方形的判定

專題：作圖題

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，使AB垂直平分DE，AC垂直平分DF，然后連接AE、AF，連接EB并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于G，即可得解；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得△ABD和△ABE全等，△ACD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，然后求出∠EAF=90°，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠E=∠F=90°，從而得到四邊形AEGF是矩形，再求出AE=AF，然后根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明．

解答：（1）解：如圖所示；

（2）證明：由題意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=2∠BAC=2×45°=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴∠E=∠F=90°，
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，
∴四邊形AEGF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，正方形的判定，主要利用了關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的作法，鄰邊相等的矩形是正方形，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．