Question

如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OC與x軸重合，OA與y軸重合，BC=4，D是OC上一點，且OD，DC的長是一元二次方程x²-10x+16=0的兩個根（OD＞DC）．
（1）求直線BD的函數(shù)解析式；
（2）在AB上有一動點P（不與A、B重合）自A點沿AB方向向B勻速運動，運動速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒，過P點作PE∥BD交AD于E，過P點作PF∥AD交BD于F，求四邊形DEPF的面積s與時間t的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下是否存在一點P，以A、P、D為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出相應點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先解方程求得OD、DC的值，進而根據(jù)矩形的性質(zhì)得出B、D的坐標，應用待定系數(shù)法即可求得直線BD的解析式；
（2）先根據(jù)S_△ADB=S_矩形-S_△OAD-S_△BDC求得△ADB的面積，然后根據(jù)三角形相似，求得S_△AEP，S_△BPF的值，最后根據(jù)S=S_△ADB-S_△AEP-S_△AEP得出解析式；
（3）有兩種情況：當PD=AP時，則t²=（8-t）²+4²，解得：t=5，當AP=AD時，則t=

OA2+OD2

=

42+82

=4

5

，從而求得P的坐標．

解答：解：（1）解x²-10x+16=0，得x=2或x=8，
由題意可得：D（8，0），C（10，0），B（10，4），
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
∴

0=8k+b 4=10k+b

 解得：

k=2 b=-16

∴直線BD的解析式為：y=2x-16；

（2）∵AB=OC=10，OA=BC=4，OD=8，DC=2，
∴S_△ADB=S_矩形-S_△OAD-S_△BDC=4×10-

1

2

×4×8-

1

2

×2×4=20，
∵PE∥BD，
∴

S△AEP

S△ADB

=（

AP

AB

）²=（

t

10

）²=

t2

100

，
∴S_△AEP=

t2

100

×20=

t2

5

，
同理S_△BPF=

(10-t)2

100

×20=

(10-t)2

5

，
∴S=S_△ADB-S_△AEP-S_△AEP=20-

t2

5

-

(10-t)2

5

=-

2

5

t²+4t；
即S=-

2

5

t²+4t；

（3）設P（t，4），
∴PD²=（8-t）²+4²，
當PD=AP時，則t²=（8-t）²+4²，解得：t=5，
∴P（5，4）；
當AP=AD時，則t=

OA2+OD2

=

42+82

=4

5

；
∴P（4

5

，4）
∴以A、P、D為頂點的三角形為等腰三角形時，P的坐標為（5，4）或（4

5

，4）．

點評：本題考查了解一元二次方程的做法，待定系數(shù)法求解析式，平行線的性質(zhì)，用分割法求三角形面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等，（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方是本題的關鍵和難點．