Question

【問(wèn)題提出】如果我們身邊沒(méi)有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？
【實(shí)踐操作】如圖．
第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)，得到AD∥EF∥BC．
第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM．折痕BM 與折痕EF相交于點(diǎn)P．連接線段BN，PA，得到PA=PB=PN．
【問(wèn)題解決】
（1）求∠NBC的度數(shù)；
（2）通過(guò)以上折紙操作，還得到了哪些不同角度的角？請(qǐng)你至少再寫(xiě)出兩個(gè)（除∠NBC的度數(shù)以外）．
（3）你能繼續(xù)折出15°大小的角了嗎？說(shuō)說(shuō)你是怎么做的．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)折疊性質(zhì)由對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合得到點(diǎn)P為BM的中點(diǎn)，即BP=PM，再根據(jù)矩形性質(zhì)得∠BAM=90°，∠ABC=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PA=PB=PM，再根據(jù)折疊性質(zhì)由折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM．折痕BM得到PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，利用等要三角形的性質(zhì)得∠2=∠4，利用平行線的性質(zhì)由EF∥BC得到∠4=∠3，則∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=

1

3

∠ABC=30°；
（2）利用互余得到∠BMN=60°，根據(jù)折疊性質(zhì)易得∠AMN=120°；
（3）把30度的角對(duì)折即可．

解答：解：（1）∵對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，
∴點(diǎn)P為BM的中點(diǎn)，即BP=PM，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAM=90°，∠ABC=90°，
∴PA=PB=PM，
∵折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM．折痕BM，
∴PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠2=∠4，
∵EF∥BC，
∴∠4=∠3，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=

1

3

∠ABC=30°，
即∠NBC=30°；
（2）通過(guò)以上折紙操作，還得到了∠BMN=60°，∠AMN=120°等；
（3）折疊紙片，使點(diǎn)A落在BM上，則可得到15°的角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．