Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B. C,與y軸的負(fù)半軸相交于D,拋物線y=x+bx+c經(jīng)過(guò)B. C. D三點(diǎn)。

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若動(dòng)直線MN(MN∥x軸)從點(diǎn)D開(kāi)始，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿y軸的正方向移動(dòng)，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，在線段OC上以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若以P、C. M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求實(shí)數(shù)t的值；

②當(dāng)t為何值時(shí), 的值最大，并求出最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=xx4；（2）t=2或t=，②當(dāng)t=2時(shí)取最大值2；

【解析】

（1）直接利用圓的性質(zhì)得出B，C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用交點(diǎn)式求出函數(shù)解析式；

（2）①直接利用若△PCM∽△OCD或△MCP∽△OCD，分別得出t的值求出答案即可；

②利用MN∥OC，則 ，進(jìn)而求出關(guān)于t的關(guān)系式求出最值即可．

(1)∵A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B. C,

∴B(2,0),C(8,0)，

代入拋物線y= (x+2)(x8)，

得y=xx4；

(2)①由題可得N(0,t4),P(82t,0)，

若△PCM∽△OCD，

則 ,即 ，

解得t=2；

若△MCP∽△OCD,則,即，

解得t= ，

即當(dāng)t=2或t=時(shí)，以P、C. M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似。

②∵MN∥OC，

，即MN=2t，

又∵OP=82t，

∴，

∴當(dāng)t=2時(shí)取最大值2.