Question

如圖，已知△ABC的面積是1，D、E、F和G、H、I分別是BC和AC邊上的4等分點，則圖中陰影部分的面積是（　　）

• A、

  1

  10

• B、

  1

  12

• C、

  1

  8

• D、

  2

  25

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：計算題

分析：連結(jié)IF，如圖，設(shè)S_△IFK的面積為S，由于

CI

CA

=

CF

CB

=

1

4

，而∠ICF=∠ACB，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CIF∽△CAB，根據(jù)相似的性質(zhì)得S_△CIF=

1

16

，且∠CIF=∠CAB，

IF

AB

=

CI

CA

=

1

4

，可判斷IF∥AB，又可得到△IFK∽△BKA，利用相似的性質(zhì)得S_△ABK=16S；由于BF=3CF，根據(jù)三角形面積公式得到S_△IBF=3S_△ICF，則S_△KBF=

3

16

-S，所以S_△ABF=S_△ABK+S_△KBF=16S+

3

16

-S，而BF=

3

4

BC，所以S_△ABF=

3

4

，然后解方程16S+

3

16

-S=

3

4

，求出S，最后利用圖中陰影部分的面積=S_△IFK+S_△CIF進行計算．

解答：解：連結(jié)IF，如圖，設(shè)S_△IFK的面積為S，
∵D、E、F和G、H、I分別是BC和AC邊上的4等分點，
∴

CI

CA

=

CF

CB

=

1

4

，
而∠ICF=∠ACB，
∴△CIF∽△CAB，
∴

S△CIF

S△ABC

=（

CI

CA

）²，
∴S_△CIF=

1

16

，
∵△CIF∽△CAB，
∴∠CIF=∠CAB，

IF

AB

=

CI

CA

=

1

4

，
∴IF∥AB，
∴△IFK∽△BKA，
∴

S△IFK

S△ABK

=

1

16

，
∴S_△ABK=16S，
∵BF=3CF，
∴S_△IBF=3S_△ICF，即S+S_△KBF=3×

1

16

，
∴S_△KBF=

3

16

-S，
∴S_△ABF=S_△ABK+S_△KBF=16S+

3

16

-S，
∵BF=

3

4

BC，
∴S_△ABF=

3

4

S_△ABC=

3

4

，
∴16S+

3

16

-S=

3

4

，
∴S=

3

80

，
∴圖中陰影部分的面積=S_△IFK+S_△CIF=

3

80

+

1

16

=

1

10

．
故選A．

點評：本題考查了等積變換：相似三角形面積的比等于相似比的平方；同底等高的三角形的面積相等．