【題目】(2016湖南省益陽市)如圖①,在ABC中,∠ACB=90°,B=30°,AC=1,DAB的中點,EFACD的中位線,四邊形EFGHACD的內(nèi)接矩形(矩形的四個頂點均在ACD的邊上).

(1)計算矩形EFGH的面積;

(2)將矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上時停止移動.在平移過程中,當矩形與CBD重疊部分的面積為時,求矩形平移的距離;

(3)如圖③,將(2)中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形E1F1G1H1,將矩形E1F1G1H1G1點按順時針方向旋轉(zhuǎn),當H1落在CD上時停止轉(zhuǎn)動,旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,求cosα的值.

【答案】答案見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知,由直角三角形的性質(zhì)可知AB=2,從而求得ADCD,利用中位線的性質(zhì)可得EFDF,利用三角函數(shù)可得GF,由矩形的面積公式可得結(jié)果;

2)首先利用分類討論的思想,分析當矩形與△CBD重疊部分為三角形時(0x),利用三角函數(shù)和三角形的面積公式可得結(jié)果;當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時(x),列出方程解得x

3)作H2QABQ,設(shè)DQ=m,則H2Q=,又,,利用勾股定理可得m,在RtQH2G1中,利用三角函數(shù)解得cosα.

試題解析:(1)如圖①,在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,∴AB=2,

又∵DAB的中點,∴AD=1CD=AB=1,

又∵EF是△ACD的中位線,∴EF=DF=

在△ACD中,AD=CD,∠A=60°,∴∠ADC=60°,

在△FGD中,GF=DFsin60°=,∴矩形EFGH的面積S=EFGF==

2)如圖②,設(shè)矩形移動的距離為x,則0x;

當矩形與△CBD重疊部分為三角形時,則0x,S=,∴x=.(舍去);

當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時,則x,重疊部分的面積S=,∴x=,即矩形移動的距離為時,矩形與△CBD重疊部分的面積是;

3)如圖③,作H2QABQ,設(shè)DQ=m,則H2Q=,又,

RtH2QG1中,,解之得m=(負的舍去),

cosα===

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2)簡單應用:在(1)中,如果AB4,AD6,求DG的長;

3)類比探究:如圖2,將(1)中的矩形ABCD改為平行四邊形,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.

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頻數(shù)

頻率

第一組(0x15)

3

0.15

第二組(15x30)

6

a

第三組(30x45)

7

0.35

第四組(45x60)

b

0.20

(1)頻數(shù)分布表中a=_____,b=_____,并將統(tǒng)計圖補充完整;

(2)如果該校七年級共有女生180人,估計仰臥起坐能夠一分鐘完成3030次以上的女學生有多少人?

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(1)將最后一位乘客送到目的地時,小李在什么位置?

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【題目】如圖①所示是一個長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形,然后按圖②的方式拼成一個正方形.

1)你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于_________________

2)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.

方法① __________________.方法② _____________________;

3)觀察圖②,你能寫出(m+n)2,(m-n)2mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎?

答:________________________ .

4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若a+b=6,ab=4,則求(a-b)2的值.

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(2)判斷直線EDO的位置關(guān)系,并說明理由;

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