【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖1,在矩形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部,延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
(2)簡(jiǎn)單應(yīng)用:在(1)中,如果AB=4,AD=6,求DG的長(zhǎng);
(3)類(lèi)比探究:如圖2,將(1)中的矩形ABCD改為平行四邊形,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)GF=GC,證明見(jiàn)解析;(2);(3)(1)中的結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)連接GE,根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC,然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;
(2)設(shè)GC=x,則AG=4+x,DG=4﹣x,利用Rt△ADG中的勾股定理即可求得GC,進(jìn)而解題.
(3)利用平行四邊形的性質(zhì),首先得出∠C=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D,進(jìn)而得出∠ECG=∠EFG,再利用EF=EC,得出∠EFC=∠ECF,即可得出答案.
解:(1)GF=GC.
理由如下:如圖1,連接GE,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=EC,
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵在矩形ABCD中,
∴∠C=∠B=90°,
∴∠EFG=90°,
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,
,
∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL),
∴GF=GC;
(2)設(shè)GC=x,則AG=4+x,DG=4﹣x,
在Rt△ADG中,62+(4﹣x)2=(4+x)2,
解得x=.
∴GC=,DG=4﹣=;
(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:如圖2,連接FC,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,∠B=∠AFE,
∴EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵矩形ABCD為平行四邊形,
∴∠B=∠D,
∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D,
∴∠ECD=∠EFG,
∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF,
∴∠GFC=∠GCF,
∴FG=CG;
即(1)中的結(jié)論仍然成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】博物館作為征集、典藏、陳列和研究代表自然和人類(lèi)文化遺產(chǎn)實(shí)物的場(chǎng)所,其存在的目的是為公眾提供知識(shí)、教育及欣賞服務(wù).近年來(lái),人們到博物館學(xué)習(xí)參觀的熱情越來(lái)越高.2012-2018年我國(guó)博物館參觀人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:
小明研究了這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,得出四個(gè)結(jié)論:①2012年到2018年,我國(guó)博物館參觀人數(shù)持續(xù)增長(zhǎng);②2019年末我國(guó)博物館參觀人數(shù)估計(jì)將達(dá)到10.82億人次;③2012年到2018年,我國(guó)博物館參觀人數(shù)年增幅最大的是2017年;④2016年到2018年,我國(guó)博物館參觀人數(shù)平均年增長(zhǎng)率超過(guò)10%.其中正確的是( )
A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果三角形三邊的長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足,那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱(chēng)三角形”,如:三邊長(zhǎng)分別為1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“勻稱(chēng)三角形”.
(1)如圖1,已知兩條線段的長(zhǎng)分別為a、c(a<c).用直尺和圓規(guī)作一個(gè)最短邊、最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)分別為a、c的“勻稱(chēng)三角形”(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);
(2)如圖2,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,若,判斷△AEF是否為“勻稱(chēng)三角形”?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,規(guī)定把一個(gè)點(diǎn)先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再作出它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為一次變換,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),把點(diǎn)A經(jīng)過(guò)連續(xù)2014次這樣的變換得到的點(diǎn)A2014的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB=4,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C,使得AB=2BC,反向延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使AC=2AD.
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)若Q為AB的中點(diǎn),P為線段CD上一點(diǎn),且BP=BC,求線段PQ的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B兩輛汽車(chē)同時(shí)從相距330千米的甲、乙兩地相向而行,s(千米)表示汽車(chē)與甲地的距離,t(分)表示汽車(chē)行駛的時(shí)間,如圖,L1,L2分別表示兩輛汽車(chē)的s與t的關(guān)系.
(1)L1表示哪輛汽車(chē)到甲地的距離與行駛時(shí)間的關(guān)系?
(2)汽車(chē)B的速度是多少?
(3)求L1,L2分別表示的兩輛汽車(chē)的s與t的關(guān)系式.
(4)2小時(shí)后,兩車(chē)相距多少千米?
(5)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后,A、B兩車(chē)相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn),決定購(gòu)買(mǎi)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)零件,現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器可供選擇.其中甲型機(jī)器每日生產(chǎn)零件106個(gè),乙型機(jī)器每日生產(chǎn)零件60個(gè),經(jīng)調(diào)査,購(gòu)買(mǎi)3臺(tái)甲型機(jī)器和2臺(tái)乙型機(jī)器共需要31萬(wàn)元,購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)甲型機(jī)器比購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)乙型機(jī)器多2萬(wàn)元.
(1)求甲、乙兩種機(jī)器每臺(tái)各多少萬(wàn)元?
(2)如果工廠購(gòu)買(mǎi)機(jī)器的預(yù)算資金不超過(guò)34萬(wàn)元,那么你認(rèn)為該工廠有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?
(3)在(2)的條件下,如果要求該工廠購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量能力不能低于400個(gè),那么為了節(jié)約資金.應(yīng)該選擇哪種方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形是菱形,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),若將菱形向下平移2個(gè)單位,點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,則反比例函數(shù)的表達(dá)式為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016湖南省益陽(yáng)市)如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,D為AB的中點(diǎn),EF為△ACD的中位線,四邊形EFGH為△ACD的內(nèi)接矩形(矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在△ACD的邊上).
(1)計(jì)算矩形EFGH的面積;
(2)將矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上時(shí)停止移動(dòng).在平移過(guò)程中,當(dāng)矩形與△CBD重疊部分的面積為時(shí),求矩形平移的距離;
(3)如圖③,將(2)中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為矩形E1F1G1H1,將矩形E1F1G1H1繞G1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)H1落在CD上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng),旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,求cosα的值.
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