Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到EF，點(diǎn)C在EF上，連接AF交邊CD于點(diǎn)G．

（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的長(zhǎng)；

（2）求證：AE＝BE+DG．

Answer 1

【答案】（1）EC＝1；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)AE＝EF＝x，由正方形的性質(zhì)可知BE＝8﹣x，AB＝4，在中，根據(jù)勾股定理可得x的值，易求CE的長(zhǎng)；

（2）延長(zhǎng)EB到H，使得BH＝DG，則△ADG≌△ABE（SAS），由全等的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余可證∠H＝∠EAH，根據(jù)等角對(duì)等邊可知EA＝EH，易證結(jié)論.

（1）解：設(shè)AE＝EF＝x，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝4，

∵BF＝8，

∴CF＝8﹣4＝4，

∵BE＝BF﹣EF＝8﹣x，AB＝4，AE＝x，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

∴x＝5，

∴EC＝EF﹣CF＝1．

（2）證明：延長(zhǎng)EB到H，使得BH＝DG，則△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠BAH＝∠DAG，

∴∠HAF＝∠BAD＝90°，

∵EF＝AE，

∴∠EAF＝∠F，

∵∠EAH+∠EAF＝90°，∠F+∠H＝90°，

∴∠H＝∠EAH，

∴EA＝EH，

∵EH＝BE+BH＝BE+DG，

∴AE＝BE+DG．