【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),若射線上存在點(diǎn),使得是以為腰的等腰三角形,就稱點(diǎn)為線段關(guān)于射線的等腰點(diǎn).

(1)如圖, ,

①若,則線段關(guān)于射線的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是_____;

②若,且線段關(guān)于射線的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1,求的取值范圍;

(2) ,且射線上只存在一個(gè)線段關(guān)于射線的等腰點(diǎn),則的取值范圍是__________

【答案】1)(0,2);(2;(3

【解析】

1)①根據(jù)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的定義可知OP=AB=2,即可解答;
②如圖,設(shè)以點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓與直線在第二象限的交點(diǎn)為,作垂直軸于點(diǎn),C位于D點(diǎn)左側(cè)時(shí)滿足條件;
2)如圖,作CHy軸于H.分別以AB為圓心,AB為半徑作⊙A,⊙B,先求出∠COH=30°,由射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),推出射線OC與⊙A,⊙B只有一個(gè)交點(diǎn),然后討論幾種特殊情況即可找到范圍.

解:(1)①如圖1中,由題意可知A0,0),B20),C0,1),

∵點(diǎn)P是線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),
OP=AB=2,
P02);

②如圖,設(shè)以點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓與直線在第二象限的交點(diǎn)為,作垂直軸于點(diǎn)

,

中,根據(jù)勾股定理得,

的取值范圍是

2)如下圖,作CHy軸于H.分別以A,B為圓心,AB為半徑作⊙A,⊙B

由題意C1),
CH=,OH=1,
tanCOH,
∴∠COH=30°
當(dāng)⊙B經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),B-20),此時(shí)t=-4,
∵射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),
∴射線OC與⊙A,⊙B只有一個(gè)交點(diǎn),觀察圖象可知當(dāng)-4t≤-2時(shí),滿足條件,
如下圖,當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí),∵∠POB=60°,此時(shí)兩圓的交點(diǎn)P在射線OC上,滿足條件,此時(shí)t=0,

如下圖,當(dāng)⊙BOC相切于P時(shí),連接BP,

OC是⊙B的切線,
OPBP,
∴∠OPB=90°,
BP=2,∠POB=60°,
,

,此時(shí),
如下圖,當(dāng)⊙AOC相切時(shí),同法可得,此時(shí)


觀察圖形可知,滿足條件的t的值為,
綜上所述,滿足條件t的值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校為了解學(xué)生對(duì)防溺水安全知識(shí)的掌握情況,從全校名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,并將測(cè)試成績(jī)(百分制,得分均為整數(shù))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了如下不完整的頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖.

被抽取的部分學(xué)生安全知識(shí)測(cè)試成績(jī)頻數(shù)表

組別

成績(jī)(分)

頻數(shù)(人)

頻率

由圖表中給出的信息回答下列問題:

表中的 ;抽取部分學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)在 組;

把上面的頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;

如果成績(jī)達(dá)到分以上(包括)為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該校名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下面是小方設(shè)計(jì)的作一個(gè)30°的尺規(guī)作圖過程.

已知:直線AB及直線AB外一點(diǎn)P

求作:直線AB上一點(diǎn)C,使得∠PCB30°

作法:

①在直線AB上取一點(diǎn)M;

②以點(diǎn)P為圓心,PM為半徑畫弧,與直線AB交于點(diǎn)M、N

③分別以M、N為圓心,PM為半徑畫弧,在直線AB下方兩弧交于點(diǎn)Q

④連接PQ,交AB于點(diǎn)O

⑤以點(diǎn)P為圓心,PQ為半徑畫弧,交直線AB于點(diǎn)C且點(diǎn)C在點(diǎn)O的左側(cè).則∠PCB就是所求作的角.

根據(jù)小方設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,

1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

2)完成下面的證明.

證明:∵PMPNQMQN

∴四邊形PMQN   

PQMN,PQ2PO   ).(填寫推理依據(jù))

∵在RtPOC中,sinPCB   (填寫數(shù)值)

∴∠PCB30°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知∠AOB120°,點(diǎn)P為射線OA上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合),點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),連接CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,且點(diǎn)Q恰好落在射線OB上,不與點(diǎn)O重合.

1)依據(jù)題意補(bǔ)全圖1;

2)用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系,并證明;

3)連接OC,寫出一個(gè)OC的值,使得對(duì)于任意點(diǎn)P,總有OP+OQ4,并證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在中, .在同一平面內(nèi),內(nèi)部一點(diǎn)的距離都等于為常數(shù)),到點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)組成圖形

1)直接寫出的值;

2)連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn),過點(diǎn)于點(diǎn)

①求證:;

②求直線與圖形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】體育老師為了解本校九年級(jí)女生1分鐘“仰臥起坐”體育測(cè)試項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)情況,從該校九年級(jí)136名女生中,隨機(jī)抽取了20名女生,進(jìn)行了1分鐘仰臥起坐測(cè)試,獲得數(shù)據(jù)如下:

收集數(shù)據(jù):抽取20名女生的1分鐘仰臥起坐測(cè)試成績(jī)(個(gè))如下:

 38 46 42 52 55 43 59 46 25 38

 35 45 51 48 57 49 47 53 58 49

1)整理、描述數(shù)據(jù):請(qǐng)你按如下分組整理、描述樣本數(shù)據(jù),把下列表格補(bǔ)充完整:

范圍

人數(shù)

(說(shuō)明:每分鐘仰臥起坐個(gè)數(shù)達(dá)到49個(gè)及以上時(shí)在中考體育測(cè)試中可以得到滿分)

2)分析數(shù)據(jù):樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、滿分率如下表所示:

平均數(shù)

中位數(shù)

滿分率

46.8

47.5

得出結(jié)論:①估計(jì)該校九年級(jí)女生在中考體育測(cè)試中1分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目可以得到滿分的人數(shù);

②該中心所在區(qū)縣的九年級(jí)女生的1分鐘“仰臥起坐”總體測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

平均數(shù)

中位數(shù)

滿分率

45.3

49

請(qǐng)你結(jié)合該校樣本測(cè)試成績(jī)和該區(qū)縣總體測(cè)試成績(jī),為該校九年級(jí)女生的1分鐘“仰臥起坐”達(dá)標(biāo)情況做一下評(píng)估.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)y=(m2)x2+2mx+m3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),(x1,0),(x2,0),則下列說(shuō)法正確是(  )

該函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(1,﹣5)

若該函數(shù)圖象開口向下,則m的取值范圍為:m2

當(dāng)m2,且1x2時(shí),y的最大值為:4m5;

當(dāng)m2,且該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1x2滿足﹣3x1<﹣2,﹣1x20時(shí),m的取值范圍為:m11

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】點(diǎn) A2,m),B2,m-5)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若ABO是直角三角形,則m的值不可能是( )

A.4B.2C.1D.0

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線的對(duì)稱軸是直線,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C

1)求拋物線的解析式和A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2)如圖1,若點(diǎn)P是拋物線上B,C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),是否存在點(diǎn)P,使四邊形PBOC的面積最大?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)如圖2,若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)My軸的平行線,交直線BC于點(diǎn)N,當(dāng)MN=3時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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