Question

對于正整數a及整數b、c，二次方程ax²+bx+c=0有兩根α，β．且滿足0＜α＜β＜1．求a的最小值．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：設f（x）=ax²+bx+c，根據條件轉化為：f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有兩個不同的零點，由二次函數的圖象列出不等式，求出a的范圍，再根據判斷出的結果進行取值，最后求出a的最小值．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），
∵一元二次方程ax²+bx+c=0在（0，1）中有兩個不同的實數根，
∴函數設f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有兩個不同的零點，
∴

△=b2-4ac＞0 f(0)=c＞0 f(1)=a+b+c＞0 0＜- b 2a ＜1

，得

b2-4ac＞0 c＞0 a＞-b-c -2a＜b＜0

，則

a＜ b2 4c a＞-b-c a＞- b 2

①，
∵a、c是正整數，b是負整數，
∴取值使

b2

4c

是正整數：
當b=-2，c=1時，由①得a∈∅，此時a無最小整數值；
當b=-4，c=1時，由①得3＜a＜4，此時a無最小整數值；
當b=-6，c=1時，由①得5＜a＜9，此時a有最小整數值為6；
綜上可得a有最小整數值為6．

點評：本題主要考查對根的判別式，一元二次方程的根的分布等知識點的理解和掌握，能根據性質進行推理是解此題的關鍵．