Question

如圖所示平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，8），若一次函數(shù)y=kx+2的圖象平分矩形OABC的面積．
（1）求一次函數(shù)的解析式．
（2）求（1）中一次函數(shù)與矩形的交點坐標．
（3）設點D（-1，0），在一次函數(shù)圖象上求一點P，使△ADP為直角三角形，求點P坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出矩形的中心坐標，再根據(jù)矩形的性質，過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩部分，然后代入計算即可得解；
（2）令x=0，x=4，利用一次函數(shù)解析式求解即可；
（3）分點D是直角頂點，點A是直角頂點，利用一次函數(shù)解析式計算即可；點P是直角頂點，設點P（a，a+2），過點P作PE⊥x軸于E，根據(jù)△APE和△PDE相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵點B的坐標為（4，8），
∴矩形OABC的中心坐標為（2，4），
∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象平分矩形OABC的面積，
∴2k+2=4，
解得k=1，
所以，一次函數(shù)的解析式為y=x+2；

（2）x=0時，y=2，
x=4時，y=4+2=6，
所以，一次函數(shù)與矩形的交點坐標為（0，2），（4，6）；

（3）若點D是直角頂點，則x=-1時，y=-1+2=1，
點P的坐標為（-1，1），
若點A是直角頂點，則x=4，y=4+2=6，
點P的坐標為（4，6），
若P是直角頂點，設點P（a，a+2），
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE∽△PDE，
所以，

AE

PE

=

PE

DE

，
所以，

4-a

a+2

=

a+2

a-(-1)

，
整理得，2a²+a=0，
解得a₁=0，a₂=-

1

2

，
當a=0時，a+2=2，
當a=-

1

2

時，a+2=

3

2

，
所以，點P的坐標為（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）；
綜上所述，△ADP為直角三角形時，點P的坐標為（-1，1）或（4，6）或（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了矩形的性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質，難點在于（1）熟記過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩部分，（3）分情況討論．