Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b），且a：b=4：3，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，以O(shè)C為直徑作圓D，且圓D的直徑為

5

2

，
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作圓D的切線EF，交x軸于E，交y軸于F，求EF的長(zhǎng)；
（3）P是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、A重合），設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，那么當(dāng)x分別取何值時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相交、相切或相離？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AB=2OC=5，設(shè)OA=4t，則OB=3t，利用勾股定理得到AB=5t，則5t=5，解得t=1，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
（2）⊙D交x軸于H，連接CH，如圖1，先根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

3

2

），再根據(jù)圓周角定理由OC為直徑得到∠OHC=90°，則OH=2，CH=

3

2

，
然后根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥EF，易證得Rt△OCH∽R(shí)t△OEC，利用相似比可計(jì)算出OE=

25

8

，CE=

15

8

，再利用CH∥OF證明△ECH∽△EFO，于是可利用相似比可計(jì)算出EF；
（3）先討論相切的條件：若⊙P與AB相切于G點(diǎn)時(shí)，連接PG，如圖2，根據(jù)切線的性質(zhì)得PG⊥AB，易證得Rt△APG∽R(shí)t△ABO，利用相似比得到

x

3

=

4-x

4

，解得x=

12

7

，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到當(dāng)0＜x＜

12

7

時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相離；當(dāng)x=

12

7

時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相切；當(dāng)

12

7

x≤4時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相交．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴OC=

1

2

AB，
∴AB=2OC=2×

5

2

=5，
設(shè)OA=4t，則OB=3t，
∴AB=

OA2+OB2

=5t，
∴5t=5，解得t=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
（2）⊙D交x軸于H，連接CH，如圖1，
∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

3

2

），
∵OC為直徑，
∴∠OHC=90°，即CH⊥x軸，
∴OH=2，CH=

3

2

，
∵EF為⊙D的切線，C為切點(diǎn)，
∴OC⊥EF，
∵∠COH=∠EOC，
∴Rt△OCH∽R(shí)t△OEC，
∴OC：OE=OH：OC=CH：CE，
∴OE=

OC2

OH

=

( 5 2 )2

2

=

25

8

，CE=

OC•CH

OH

=

5 2 • 3 2

2

=

15

8

，
∵CH∥OF，
∴△ECH∽△EFO，
∴

CE

EF

=

EH

EO

，即

15 8

EF

=

25 8 -2

25 8

，
∴EF=

125

24

；
（3）若⊙與AB相切于G點(diǎn)時(shí)，連接PG，如圖2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）
∵與AB相切于G點(diǎn)，
∴PG⊥AB，
∵∠PAG=∠BAO，
∴Rt△APG∽R(shí)t△ABO，
∴

PG

OB

=

AP

AO

，即

x

3

=

4-x

4

，
解得x=

12

7

，
∴當(dāng)0＜x＜

12

7

時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相離；當(dāng)x=

12

7

時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相切；當(dāng)

12

7

x≤4時(shí)，以O(shè)P為半徑的圓P與直線AB相交．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系的判定方法；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．