【題目】如圖,已知ABCADE都是等腰直角三角形,∠ACB=ADE=90°,點(diǎn)FBE的中點(diǎn),連接CF,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)DAB上,點(diǎn)EAC上時(shí)

①證明:BFC是等腰三角形;

②請(qǐng)判斷線段CF,DF的關(guān)系?并說(shuō)明理由;

(2)如圖2,將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),請(qǐng)判斷(1)中②的結(jié)論是否仍然成立?并證明你的判斷.

【答案】(1)①證明見解析;②結(jié)論:CF=DFCFDF.理由見解析;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見解析.

【解析】分析:(1)、根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CF=BF=EF,根據(jù)∠CFD=2∠ABC,ACB=90°,ABC=45°得出∠CFD=90°,從而得出答案;(2)、延長(zhǎng)DFG使FG=DF,連接BG,CG,DC,首先證明△BFG和△EFD全等,然后再證明△BCG和△ACD全等,從而得出GC=DC,BCG=ACD,DCG=ACB=90°,最后根據(jù)直角三角形斜中線的性質(zhì)得出答案.

詳解:(1)①證明:∵∠BCE=90°.EF=FB,CF=BF=EF,∴△BFC是等腰三角形.

②解:結(jié)論:CF=DFCFDF.理由如下:

∵∠ADE=90°,∴∠BDE=90°,又∵∠BCE=90°,點(diǎn)FBE的中點(diǎn),∴CF=DF=BE=BF,

∴∠1=3,2=4,∴∠5=1+3=21,6=2+4=22,

∴∠CFD=5+6=2(1+2)=2ABC,

又∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∴∠CFD=90°,

CF=DFCFDF.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:

如圖,延長(zhǎng)DFG使FG=DF,連接BG,CG,DC,FBE的中點(diǎn),∴BF=EF,

又∵∠BFG=EFD,GF=DF,∴△BFG≌△EFD(SAS),∴∠FBG=FED,BG=ED,

BGDE,∵△ADEACB都是等腰直角三角形,

DE=DA,DAE=DEA=45°,AC=BC,CAB=CBA=45°,

又∵∠CBG=EBG﹣EBA﹣ABC=DEF﹣(180°﹣AEB﹣EAB)﹣45°

=DEF﹣180°+AEB+EAB﹣45°=(DEF+AEB)+EAB﹣225°

=360°﹣DEA+EAB﹣225°=360°﹣45°+EAB﹣225°=90°+EAB,

而∠DAC=DAE+EAB+CAB=45°+EAB+45°=90°+EAB,

∴∠CBG=DAC,又∵BG=ED,DE=DA,BG=AD,又∵BC=AC,

∴△BCG≌△ACD(SAS),GC=DC,BCG=ACD,

∴∠DCG=DCB+BCG=DCB+ACD=ACB=90°,

∴△DCG是等腰直角三角形,又∵FDG的中點(diǎn),∴CFDFCF=DF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.

運(yùn)動(dòng)形式

A

B

C

D

E

人數(shù)

12

30

m

54

9

請(qǐng)你根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:

(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的共有   人,圖表中的m=   ,n=   ;

(2)統(tǒng)計(jì)圖中,A類所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為   ;

(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,我市市民最喜愛的運(yùn)動(dòng)方式是   ,不運(yùn)動(dòng)的市民所占的百分比是   ;

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14,,13,,,

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