Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點P在線段AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動，同時點Q在線段AC上以同樣的速度從點A向點C運動，運動的時間用t（單位：秒）表示．
（1）直接寫出線段AB的長為5；
（2）經(jīng)過t秒時，AQ的長為t，AP的長為5-t（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）求當t為何值時，△APQ與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，直接由勾股定理可得AB的長；
（2）由點P在線段AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動可得經(jīng)過t秒時，AQ的長為t，由同時點Q在線段AC上以同樣的速度從點A向點C運動，可得BP=t，AP=5-t；
（3）由∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的SAS判定定理逆推可得當$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ與△ABC相似，利用（2）的結論，分兩種情況討論可得結果．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
故答案為：5；

（2）∵點P在線段AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動，
∴經(jīng)過t秒時，AQ=t，
∵同時點Q在線段AC上以同樣的速度從點A向點C運動，
∴BP=t，AP=5-t，
故答案為：t，5-t；                    

（3）∵∠PAQ=∠BAC，
∴當$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ與△ABC相似，
第一種情況，當$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$時，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$，
解得：$t=\frac{20}{9}$；
第二種情況，當$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$時，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{5-t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得：$t=\frac{25}{9}$，
綜上所述：當$t=\frac{20}{9}$或$t=\frac{25}{9}$時，△APQ與△ABC相似．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質及判定定理，根據(jù)題意得出AQ，AP，利用SAS定理分兩種情況討論是解答此題的關鍵．