Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，梯形的高DH與中位線EF交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中：
①△DGF≌△EBH；②S_△DGF：S_△DHC=1：4；③四邊形EHCF是菱形；④以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E，
其中正確的有

 

（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：根據(jù)梯形的性質(zhì)和DH為梯形的高得到BH=AD=1，則CH=BC-BH=2，再根據(jù)梯形的中位線性質(zhì)得EF∥CH，EF=2，即有EF=CH，于是可判斷四邊形EHCF為平行四邊形，加上CH=CF=2，于是可判斷四邊形EHCF為菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)得EH=CF=DF，再利用GF為△DHC的中位線得GF=1，所以BH=GF，則可根據(jù)“HL”證明Rt△DGF≌Rt△EBH；利用GF∥CH可判斷△DGF∽△DHC，根據(jù)相似的性質(zhì)得

S△DGF

S△DHC

=

1

4

；由EF∥BC，AB⊥BC得到EF⊥AB，再根據(jù)EF=2，CD=4，F(xiàn)點(diǎn)為CD的中點(diǎn)得到EF是以CD為直徑的圓的半徑，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E．

解答：解：∵AD∥BC，AB⊥BC，DH為梯形的高，
∴BH=AD=1，
∴CH=BC-BH=3-1=2，
∵EF為梯形的中位線，
∴EF∥CH，EF=

1

2

（AD+BC）=2，
∴EF=CH，
∴四邊形EHCF為平行四邊形，
而F點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，
∴DF=CF=

1

2

CD=2，
∴CH=CF，
∴四邊形EHCF為菱形，所以③正確；
∴EH=CF=DF，
∵GF為△DHC的中位線，
∴GF=

1

2

CH=1，
∴BH=GF，
在Rt△DGF和Rt△EBH中

GF=BH DF=EH

，
∴Rt△DGF≌Rt△EBH，所以①正確；
∵GF∥CH，
∴△DGF∽△DHC，
∴

S△DGF

S△DHC

=（

GF

CH

）²=（

1

2

）²=

1

4

，所以②正確；
∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴EF⊥AB，
∵EF=2，CD=4，
而F點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，
∴EF是以CD為直徑的圓的半徑，
∴以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E，所以④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)、梯形的中位線性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用“HL”證明直角三角形全等；會(huì)運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓的切線的判定定理．