Question

【題目】如圖，經(jīng)過點A（0，﹣2）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0）和C，D為第四象限內(nèi)拋物線上一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點D作y軸的平行線交AC于點E，若AD=AE，求點D的坐標(biāo)；

（3）連接BD交AC于點F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）（2，﹣3）；（3）．

【解析】試題分析：

（1）把點A、B的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c中列方程組解得b、c的值即可得到二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，過點A作AH⊥DE于點H，由（1）中所得二次函數(shù)的解析式可求得點C的坐標(biāo)，再由A、C坐標(biāo)可求得直線AC的解析式，設(shè)出點D的坐標(biāo)，則可表達出點E的坐標(biāo)，由已知條件易得EH=DH，從而可列出方程求得點D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過點D作DG⊥AC于點G，連接AB，先由已知條件易證△DGE∽△COA，結(jié)合（2）可得：DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）；再利用勾股定理逆定理證∠BAC=90°，從而可證△DGF∽△BAF，由此可得： =﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+，即可得到： 的最大值.

試題解析：

（1）∵點A（0，﹣2）和點B（﹣1，0）均在拋物線上，

∴有，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2．

（2）過點A作AH⊥DE，垂足為H，如圖1．

在y=x2﹣x﹣2中，令y=0得，x=﹣1或x=4，

∴點C坐標(biāo)為（4，0）．

∵點A坐標(biāo)為（0，﹣2），

∴直線AC的解析式為y=x﹣2．

設(shè)點D坐標(biāo)為（m， m2﹣m﹣2），

則點E坐標(biāo)為（m， m﹣2），點H坐標(biāo)為（m，﹣2）．

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，即﹣2﹣（m2﹣m﹣2）=m﹣2﹣（﹣2），

解得m1=2，m2=0（不合題意，舍去）．

此時， m2﹣m﹣2=﹣3，

∴點D的坐標(biāo)為（2，﹣3）．

（3）過點D作DG⊥AC，垂足為G，連接AB，DE交x軸于點P，如圖2．

由（2）得，DE=﹣m2+2m．

∵點A（0，﹣2），點B（﹣1，0），點O（0，0），點C（4，0），

∴AB=，AC=2，BC=5，OC=4，OA=2．

∵DE∥y軸，DG⊥AC，

∴∠DGE=∠CPE=90°，

∵∠DEG=∠CEP（對頂角），

∴∠EDG=∠ECP=∠ACO．

又∵∠DGE=∠COA=90°，

∴△DGE∽△COA，

∴，

∴DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）．

∵AB=，AC=2，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

又∵∠DFG=∠BFA，

∴△DGF∽△BAF．

∴=﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+．

∴的最大值為．