Question

△ABC是黃金三角形，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中點(diǎn)E，連接EF交BC延長(zhǎng)線于M，連接AM，說(shuō)明△MAB是黃金三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：證明題

分析：由于△ABC是黃金三角形，則∠BAC=36°，∠ABC=72°，又由于BF平分∠ABC交AC于F，則∠ABF=36°，所以FA=FB，加上AE=BE，根據(jù)線段垂直平分線的判定得EF垂直平分AB，則MA=MB，易得∠MAB=∠ABM=72°，∠AMB=36°，于是可判斷△MAB是黃金三角形．

解答：證明：如圖，
∵△ABC是黃金三角形，
∴∠BAC=36°，∠ABC=∠ACB=72°，
∵BF平分∠ABC交AC于F，
∴∠ABF=36°，
∴FA=FB，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠ABM=72°，
∴∠AMB=36°，
∴△MAB是黃金三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=

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AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．頂角為36°的等腰三角形為黃金三角形．