Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF如圖擺放，P、M、N是AD、BE、CF的中點，求證：PM=PM且PM⊥PN．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過D、P作AC的垂線，分別交BC于點G、H，連接EG和HM，證明△GDE≌△CDF，證得GE=CF，∠DGE=∠DCF，然后證明△PHM≌△PCN即可證得．

解答：證明：過D、P作AC的垂線，分別交BC于點G、H，連接EG和HM．
則△DCG和△PCH都是等腰直角三角形，
DG=DC，∠CDG=90°．
∵∠EDF=90°，
∴∠GDE=∠CDF．
則在△GDE和△CDF中，

∠GDE=∠CDF ∠DGE=∠DCF DE=DF

，
∴△GDE≌△CDF，
∴GE=CF，∠DGE=∠DCF．
∵PH⊥AC，DG⊥AC，
∴DG∥AB，
∵PA=PD，
∴BH=GH，
∴△HG是△BGE的中位線．
∴HM=

1

2

GE=

1

2

CF=CN，∠CHM=∠CGE，
∴∠PHM=∠PCN．
∴在△PHM和△PCN中，

PH=PC ∠PHM=∠PCN HM=CN

，
∴△PHM≌△PCN，
∴PM=PN，∠HPM=∠CPN，
∴∠MPN=∠MPC+∠CPN=∠MPC+∠HPM=90°，
∴PM⊥PN．

點評：本題考查了全等三角形的全等的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，正確作出輔助線是關(guān)鍵．