Question

1．當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=mn時(shí)，就稱點(diǎn)P（m，$\frac{m}{n}$）為“完美點(diǎn)”．已知點(diǎn)A（1，6）與點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足y=-x+b，且點(diǎn)B是“完美點(diǎn)”．
（1）點(diǎn)（3，2）是否是“完美點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）按照完美點(diǎn)概念，求出m、n的值，代入驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)符合m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=mn，進(jìn)而證明點(diǎn)（3，2）是完美點(diǎn)；
（2）首先根據(jù)條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，利用割補(bǔ)法求出圖形面積．

解答 解：（1）點(diǎn)（3，2）是完美點(diǎn)．
假設(shè)點(diǎn)（3，2）是完美點(diǎn)，
則：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{\frac{m}{n}=2}\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=$\frac{3}{2}$，
根據(jù)完美點(diǎn)定義，應(yīng)該滿足：
3、$\frac{3}{2}$為正實(shí)數(shù)，
3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)（3，2）是完美點(diǎn)．

（2）將點(diǎn)A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
則直線解析式為：y=-x+7，
設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)B滿足直線y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵點(diǎn)B是“完美點(diǎn)”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{\frac{m}{n}=-x+7}\end{array}\right.$      ①
∵m+n=mn，m，n是正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{m}{n}+1=m$，②
將②代入①得：
$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{m-1=-x+7}\end{array}\right.$
解得x=4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，3），
在平面直角坐標(biāo)系畫圖，如下圖：

過(guò)點(diǎn)A做AE⊥y軸，EF⊥y軸，垂足為點(diǎn)E、F，
則：AE=1，BF=4，OF=EF=3，
則，S_△OAB=S_{四邊形EABO}-S_△OAE
=S_梯形AEFB+S_△OBF-S_△OAE
=$\frac{1}{2}$（AE+BF）×EF+$\frac{1}{2}$×OF×BF-$\frac{1}{2}$×AE×OE，
=$\frac{1}{2}$（1+4）×3+$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×6，
=$\frac{15}{2}$+6-3
=$\frac{21}{2}$．
答：△OAB的面積為$\frac{21}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了完美點(diǎn)的新定義及應(yīng)用和平面直角坐標(biāo)系中圖形面積求解，題目設(shè)計(jì)新穎，既考查學(xué)生理解能力，又考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決平面直角坐標(biāo)系圖形面積求解問(wèn)題．