Question

1．當m，n是正實數(shù)，且滿足m+n=mn時，就稱點P（m，$\frac{m}{n}$）為“完美點”．已知點A（1，6）與點B的坐標滿足y=-x+b，且點B是“完美點”．
（1）點（3，2）是否是“完美點”，并說明理由；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）按照完美點概念，求出m、n的值，代入驗算，發(fā)現(xiàn)符合m，n是正實數(shù)，且滿足m+n=mn，進而證明點（3，2）是完美點；
（2）首先根據(jù)條件求出點B的坐標，在平面直角坐標系中畫出圖形，利用割補法求出圖形面積．

解答 解：（1）點（3，2）是完美點．
假設點（3，2）是完美點，
則：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{\frac{m}{n}=2}\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=$\frac{3}{2}$，
根據(jù)完美點定義，應該滿足：
3、$\frac{3}{2}$為正實數(shù)，
3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴點（3，2）是完美點．

（2）將點A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
則直線解析式為：y=-x+7，
設點B坐標為（x，y），
∵點B滿足直線y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵點B是“完美點”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{\frac{m}{n}=-x+7}\end{array}\right.$      ①
∵m+n=mn，m，n是正實數(shù)，
∴$\frac{m}{n}+1=m$，②
將②代入①得：
$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{m-1=-x+7}\end{array}\right.$
解得x=4，
∴點B坐標為（4，3），
在平面直角坐標系畫圖，如下圖：

過點A做AE⊥y軸，EF⊥y軸，垂足為點E、F，
則：AE=1，BF=4，OF=EF=3，
則，S_△OAB=S_{四邊形EABO}-S_△OAE
=S_梯形AEFB+S_△OBF-S_△OAE
=$\frac{1}{2}$（AE+BF）×EF+$\frac{1}{2}$×OF×BF-$\frac{1}{2}$×AE×OE，
=$\frac{1}{2}$（1+4）×3+$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×6，
=$\frac{15}{2}$+6-3
=$\frac{21}{2}$．
答：△OAB的面積為$\frac{21}{2}$．

點評 題目考查了完美點的新定義及應用和平面直角坐標系中圖形面積求解，題目設計新穎，既考查學生理解能力，又考查學生利用所學知識解決平面直角坐標系圖形面積求解問題．