Question

20．已知點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象上，當(dāng)x₁=1、x₂=3時(shí)，y₁=y₂．
（1）①求m；②若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求n的值．
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且b₁＞b₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，求n的范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用拋物線的對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，則根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程得到-$\frac{m}{2}$=2，然后解方程即可得到m的值；
②利用△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到△=m²-4n=0，然后解方程即可得到n的值；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由于x₁=1、x₂=3時(shí)，y₁=y₂，點(diǎn)P到直線x=2的距離比點(diǎn)Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a＜1或a＞3；
（3）由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，則判斷二次函數(shù)y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，然后解不等式即可．

解答 解：（1）①∵當(dāng)x₁=1、x₂=3時(shí)，y₁=y₂，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
即-$\frac{m}{2}$=2，
∴m=-4；
②∵拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=m²-4n=0，
而m=-4，
∴n=4；
（2）∵x₁=1、x₂=3時(shí)，y₁=y₂，
而拋物線開(kāi)口向上，
∴當(dāng)a＞3時(shí)，b₁＞b₂，或a＜1時(shí)，b₁＞b₂，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜1或a＞3；
（3）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，
∴二次函數(shù)y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，
即$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，
∴n≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．