Question

【題目】如圖1，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m1，將它沿EF折疊(點(diǎn)E.F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，連接EP.設(shè)，其中0<n1.

(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；

(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點(diǎn))，m的值發(fā)生變化時(shí)，求證：EP=AE+DP；

(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；(3)值不變，理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）由條件可知，當(dāng)n=1（即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合），m=2時(shí)，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.

（2）延長(zhǎng)PM交EA延長(zhǎng)線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

（3）如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，通過(guò)證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．

∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．

在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，

∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．

∵FN=FC，∴AE=FC．

∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE．

Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.

∴BE=2AD-AD=.

∴.

（2）如圖3，延長(zhǎng)PM交EA延長(zhǎng)線于G，∴∠GAM=90°．

∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.

∴∠GAM=∠PDM．

在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，

∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.

在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，

∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.

∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.

（3），值不變，理由如下：

如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，

∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.

∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.

∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.

∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.

∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.

∴即.

∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.

∴的值不變．