Question

已知y₁=x²-2x+1，y₂=2x-k．
（1）當k=-1時，是否存在實數x，使得y₁+y₂=0？如果存在，請求出x的值，如果不存在，請說明理由．
（2）對給定的實數k，是否存在實數x，使y₁=ky₂？如果存在，請確定k的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：存在型

分析：（1）當k=-1時，由y₁+y₂=0得x²+2=0，根據判別式的意義得到方程沒有實數解，則不存在實數x使y₁+y₂=0；
（2）由y₁=ky₂，則x²-2x+1=k（2x-k），整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，再計算判別式的值得到△=8k，所以當k≥0時，方程有實數解，即對給定的實數k，存在實數x，使y₁=ky₂．

解答：解：（1）不存在．理由如下：
k=-1時，令y₁+y₂=0，得x²+2=0，
因為△=1-4×2＜0，
所以方程沒有實數解，
即不存在實數x使y₁+y₂=0；
（2）存在．
令y₁=ky₂，則x²-2x+1=k（2x-k），
整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，
因為△=（2+2k）²-4（1+k²）=8k，
所以當k≥0時，方程有實數解，即對給定的實數k，存在實數x使y₁=ky₂．

點評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．