【題目】一節(jié)數(shù)學課后,老師布置了一道課后練習題:

如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°BO⊥AC,于點O,點PD分別在AOBC上,PB=PDDE⊥AC于點E,求證:△BPO≌△PDE

1)理清思路,完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示:

根據(jù)上述思路,請你完整地書寫本題的證明過程.

2)特殊位置,證明結(jié)論

PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD

3)知識遷移,探索新知

若點P是一個動點,點P運動到OC的中點P′時,滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′,請直接寫出CD′AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3CD′=AP′

【解析】

1)證明:∵PB=PD,

∴∠2=∠PBD,

∵AB=BC,∠ABC=90°

∴∠C=45°,

∵BO⊥AC

∴∠1=45°,

∴∠1=∠C=45°

∵∠3=∠PBO﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C

∴∠3=∠4,

∵BO⊥ACDE⊥AC,

∴∠BOP=∠PED=90°,

△BPO△PDE

∴△BPO≌△PDEAAS);

2)證明:由(1)可得:∠3=∠4,

∵BP平分∠ABO,

∴∠ABP=∠3

∴∠ABP=∠4,

△ABP△CPD

∴△ABP≌△CPDAAS),

∴AP=CD

3)解:CD′AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′

理由是:設OP=PC=x,則AO=OC=2x=BO,

AP=2x+x=3x

由(2)知BO=PE,

PE=2x,CE=2x﹣x=x,

∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°

∴DE=x,由勾股定理得:CD=x,

AP=3x,CD=x

∴CD′AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′

練習冊系列答案
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A.OCD是等腰三角形B.CD垂直平分OE

C.EOA、OB的距離相等D.證明射線OE是角平分線的依據(jù)是SSS

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A.AB=DE,∠B=E,∠C=FB.AB=DE,∠A=D,∠B=E

C.AC=DF,BC=EF,∠A=DD.AB=DE,BC=EF,AC=ED

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