Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=7cm，點(diǎn)P是從點(diǎn)B出發(fā)在射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，連結(jié)PC、PD．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 5個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 2個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)AP=x，則BP=7-x，分兩種情況：①當(dāng)$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$時(shí)；②當(dāng)$\frac{AP}{AD}=\frac{BC}{BP}$時(shí)；③當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)還有二種情況，分別得出x的方程，解方程得出AP的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．

解答 解：AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠PAD+∠ABC=180°，
∴∠PAD=90°，
設(shè)AP=x，則BP=7-x，
分兩種情況：
①當(dāng)$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$時(shí)，即$\frac{x}{2}=\frac{7-x}{6}$，
解得：x=$\frac{7}{4}$；
②當(dāng)$\frac{AP}{AD}=\frac{BC}{BP}$時(shí)，即$\frac{x}{2}=\frac{6}{7-x}$，
解得：x=3，或x=4；
③當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)還有二種情況，x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$，
綜上所述：當(dāng)AP=$\frac{7}{4}$或3或4或$\frac{7}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$時(shí)，△PAD與△PBC是相似三角形；
即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是5個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)、解方程；熟練掌握相似三角形的判定定理，通過(guò)分類(lèi)討論得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．