Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂．
（1）求證：該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若n=$\frac{8}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$，判斷動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的函數(shù)圖象是否經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值得到△=m²，易得△≥0，則根據(jù)判別式的意義可判斷該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m+6，則n=$\frac{6}{m}$，然后可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2）．

解答 （1）證明：△=（m+6）²-4（3m+9）
=m²，
∵m²≥0，即△≥0，
∴該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2）．理由如下：
根據(jù)題意得x₁+x₂=m+6，
而n=$\frac{8}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$，
∴n=$\frac{8}{m+6-6}$，
即n=$\frac{8}{m}$，
當(dāng)m=4時(shí)，n=$\frac{8}{4}$=2，
∴動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．