Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，C為OA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作EF⊥AB，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線DM，與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，切點(diǎn)為M，連接AM，交EF于點(diǎn)N，連接OF．
（1）試判斷DN，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB=2a，求DN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接BM，根據(jù)圓周角定理求出∠AMB=90°，求出∠B=∠DNM，根據(jù)切線得出∠DMN=∠B，推出∠DNM=∠DMN即可；
（2）求出OC=AC=$\frac{1}{2}$a，求出DM=DN，得出△DNM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出DN=MN，∠ANC=∠DNM=60°，求出∠A=30°，解直角三角形求出AN和AM，即可得出答案．

解答 解：（1）DN=DM，
理由是：連接BM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠ACN=90°，
∴∠A+∠ANC=90°，
∵∠DNM=∠ANC，
∴∠B=∠DNM，
∵DM切⊙O于M，
∴∠DMN=∠B，
∴∠DNM=∠DMN，
∴DN=DM；

（2）∵直徑AB=2a，
∴OF=OA=a，
∵C為OA中點(diǎn)，
∴OC=AC=$\frac{1}{2}$a，
∴OC=$\frac{1}{2}$OF，
∴∠OFC=30°，
∵OF=OE，
∴∠E=∠OFE=30°，
∵DM切⊙O于M，
∴∠DME=90°，
∴∠D=60°，
∵DM=DN，
∴△DNM是等邊三角形，
∴DN=MN，∠ANC=∠DNM=60°，
∵∠ACN=90°，
∴∠A=30°，
∵∠AMB=90°，AB=2a，AC=$\frac{1}{2}$a，
∴AN=$\frac{AC}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AM=AB×cos30°=$\sqrt{3}$a，
∴DN=MN=AM-AN=$\sqrt{3}$a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是進(jìn)而此題的關(guān)鍵，難度偏大．