Question

8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$ （m≠0）的圖象相交于A、B兩點，且點B的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，過點A作AC⊥x軸于點C，且AC=1，OC=2．求：
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）連接AO、BO，求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）首先由點的坐標(biāo)的意義，得出點A的坐標(biāo)，然后把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{m}{x}$，中，求出m的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先由點B在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，可求出點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點A、點B都在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象上，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)直線y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$與y軸的交點（0，$\frac{1}{2}$），即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，知點A的坐標(biāo)是（2，1）．
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$ （m≠0）的圖象上，
∴m=2×1=2．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵y=$\frac{2}{x}$，
∴當(dāng)y=-$\frac{1}{2}$時，x=-4．
∴點B的坐標(biāo)為（-4，-$\frac{1}{2}$）．
∵點A、點B都在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{-4k+b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$；

（3）在y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$中，令x=0，得y=$\frac{1}{2}$，
∴直線y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$與y軸的交點（0，$\frac{1}{2}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×2=$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，函數(shù)解析式的求法，三角形面積的求法，熟練掌握函數(shù)解析式的求法是解題的關(guān)鍵．