Question

12．如圖．已知∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，BD=DF交CA的延長線于F點，求證：BE=AE+AF．

Answer 1

分析 由DE⊥AB得到∠AED=90°，由AD平分∠BAC得到∠CAD=∠EAD，則可根據(jù)“AAS”證明△ACD≌△AED，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AC=AE，CD=ED，然后根據(jù)“HL”證明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到BF=FC，利用等線段代換易得BE=AE+AF．

解答 證明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AED}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=ED，
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FD}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC，
∴BE=FC，
∵FC=FA+AC=FA+AE，
∴BE=AE+AF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．