Question

19．如圖，在長方形ABCD中，AB=8，AD=6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP=CQ．線段PQ的垂直平分線與直線BC、AD分別相交與點E、F點．
（1）若E、F分別與B、D重合，求AP的長．
（2）當E、F在邊BC、AD上時，設(shè)AP=x，BE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x取值范圍；
（3）是否存在這樣的一點P，使△PQE為直角三角形？若存在，請求出AP的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AP的長；
（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出y與x之間的關(guān)系進而得出x取值范圍；
（3）首先判斷只有∠PEQ=90°，得出△PBE≌△ECQ（AAS），進而分析得出答案．

解答 解：（1）如圖1，AP=x，則BP=8-x；
∵BD垂直平分PQ；
∴PB=BQ=8-x
Rt△BQC中
（8-x）²=x²+6²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，則AP=$\frac{7}{4}$；

（2）連接EP、EQ
∵EF垂直平分PQ；
∴EP=EQ
在Rt△PBE和Rt△QCE中
（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
則y=$\frac{4x-7}{3}$，
∵0≤y≤6，
∴$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$；

（3）當E在BC邊上，若△PQE為直角三角形，則只有∠PEQ=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=90°，
∵∠BPE+∠PEB=90°，
∴∠BPE=∠QEC，
在△PBE和△ECQ中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BPE=QEC}\\{PE=QE}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△ECQ（AAS），
則BE=CQ=x=y，
∵y=$\frac{4x-7}{3}$，
∴解得：x=7，
∵x=7不在定義域范圍內(nèi)，
∴不存在，
當E在邊BC（或CB）延長線上時，△PQE每個角都小于90°，不可能為直角三角形，
綜上所述，這樣的P點不存在．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確利用勾股定理得出y與x之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．