【題目】如圖,已知拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于A,B兩點,其頂點為C.
(1)對于任意實數(shù)m,點M(m,﹣2)是否在該拋物線上?請說明理由;
(2)求證:△ABC是等腰直角三角形;
(3)若點D在x軸上,則在拋物線上是否存在點P,使得PD∥BC,且PD=BC?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)不在;(2)答案見解析;(3)(,1)或(,1).
【解析】試題分析:(1)假如點M(m,﹣2)在該拋物線上,則﹣2=m2﹣4m+3,通過變形為:m2﹣4m+5=0,由根的判別式就可以得出結(jié)論;
(2)如圖,根據(jù)拋物線的解析式求出點C的坐標,再利用勾股定理求出AB、AC和BC的值,由勾股定理的逆定理就可以得出結(jié)論.
(3)假設(shè)存在點P,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,因此連接點P與點C的線段應(yīng)被x軸平分,就可以求得P點的縱坐標為1,代入拋物線的解析式就可以求出P點的橫坐標.
試題解析:解:(1)假如點M(m,﹣2)在該拋物線上,∴﹣2=m2﹣4m+3,∴m2﹣4m+5=0,∴△=(﹣4)2﹣4×1×5=﹣4<0,∴此方程無實數(shù)解,∴點M(m,﹣2)不會在該拋物線上;
(2)過點C作CH⊥x軸,交x軸與點H,連接CA、CB.如圖,當(dāng)y=0時,x2﹣4x+3=0,x1=1,x2=3.∵點A在點B左側(cè),∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3,∴AB=2.
∵y=x2﹣4x+3,∴y=(x﹣2)2﹣1,∴C(2,﹣1),∴AH=BH=CH=1.
在Rt△AHC和Rt△BHC中,由勾股定理得,AC=,BC=,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形;
(3)存在這樣的點P.
∵PD∥BC,PD=BC,∴四邊形PBCD是平行四邊形,∴根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,因此連接點P與點C的線段應(yīng)被x軸平分,∴點P的縱坐標是1.∵點P在拋物線y=x2﹣4x+3上,∴x2﹣4x+3=1,解得x1=2﹣,x2=2+,∴點P的坐標是(2﹣,1)或(2+,1).
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【題目】如圖 1,AB∥CD,點 E 在 AB 上,點 M 在 CD 上,點 F 在直線 AB,CD 之間,連接 EF、FM, EF⊥FM,∠CMF=140°.
圖 1 圖 2 圖 3
(1)直接寫出∠AEF 的度數(shù)為 ________;
(2)如圖 2,延長 FM 到 G,點 H 在 FG 的下方,連接 GH,CH,若∠FGH=∠H+90°, 求∠MCH 的度數(shù);
(3)如圖 3,作直線 AC,延長 EF 交 CD 于點 Q,P 為直線 AC 上一動點,探究∠PEQ,∠PQC 和∠EPQ 的數(shù)量關(guān)系,請直接給出結(jié)論.(題中所有角都是大于 0°小于 180°的角)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果,若每千克盈利10元,每天可售出500千克.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克.現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元,同時又要使顧客得到實惠,求:
(1)每千克應(yīng)漲價多少元?
(2)該水果月銷售(按每月30天)是多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的最大整數(shù)值;
(2)在(1)的條件下,方程的實數(shù)根是x1,x2,求代數(shù)式+-的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,將△ABC繞點C按照順時針方向旋轉(zhuǎn)m度后得到△DEC,點D剛好落在AB邊上.
(1)求m的值;
(2)若F是DE的中點,判斷四邊形ACFD的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
對于多項式,如果我們把代入此多項式,發(fā)現(xiàn)的值為0,這時可以確定多項式中有因式:同理,可以確定多項式中有另一個因式,于是我們可以得到:.
又如:對于多項式,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,的值為0,則多項式有一個因式,我們可以設(shè),解得,,于是我們可以得到:.
請你根據(jù)以上材料,解答以下問題:
(1)當(dāng) 時,多項式的值為0,所以多項式有因式 ,從而因式分解 .
(2)以上這種因式分解的方法叫試根法,常用來分解一些比較復(fù)雜的多項式.請你嘗試用試根法分解多項式:①;②.
(3)小聰用試根法成功解決了以上多項式的因式分解,于是他猜想:
代數(shù)式有因式 , , ,
所以分解因式 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,BM⊥AD,垂足為M,且AB=5,BM=2,AC=9,則∠ABC與∠C的關(guān)系為( )
A.∠ABC=2∠CB.∠ABC=∠CC.∠ABC=∠CD.∠ABC=3∠C
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點D關(guān)于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知識是用來為人類服務(wù)的,我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面.下面就兩個情景請你作出評判.
情景一:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來說明這個問題.
情景二:A、B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由:
你贊同以上哪種做法?你認為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識為人類服務(wù)時應(yīng)注意什么?
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