Question

【題目】如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，當∠C=90°時，求證：△ABC與△DCF的面積相等．

（2）引申：如果∠C90°時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）運用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當∠C=_____°時，圖中陰影部分的面積和有最大值是________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.

【解析】

試題（1）因為AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；

（2）延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．

于是AP=DQ．又因為S△ABC=BCAP，S△DFC=FCDQ，所以S△ABC=S△DFC；

（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．所以S陰影部分面積和=3S△ABC=3××3×4=18．

（1）證明：在△ABC與△DFC中，

∵，

∴△ABC≌△DFC．

∴△ABC與△DFC的面積相等；

（2）解：成立．理由如下：

如圖，延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

∴，

△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC=BCAP，S△DFC=FCDQ，

∴S△ABC=S△DFC；

（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，

若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，

∴當△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．

∴S陰影部分面積和=3S△ABC=3××3×4=18．