Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于B，與正半軸交于點(diǎn)，且．

（1）求該二次函數(shù)解析式；

（2）若是線段上一動點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)為軸上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，設(shè)所得的面積為．問：是否存在一個(gè)的值，使得相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)，若有，求出這個(gè)的值，并求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在一個(gè)的值，使得相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)，這個(gè)的值為16，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．

【解析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得出OA、OC的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出OB的長，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)解析式的交點(diǎn)式，最后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解即可得；

（2）先根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出BC的長，從而可得面積，設(shè)，則，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得面積，然后利用面積減去面積可得面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)，從而可得，再分和兩種情況，分別求出S與m之間的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，找出符合條件的S值即可．

（1）

又

，即

解得

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

由可設(shè)二次函數(shù)的解析式為

將代入得：

解得

則二次函數(shù)的解析式為

故二次函數(shù)的解析式為；

（2）

設(shè)，則

，即

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為

故當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）設(shè)直線AC的解析式為

將得，解得

直線AC的解析式為

設(shè)

因?yàn)辄c(diǎn)為軸上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)

所以

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)時(shí)

如圖1，過作軸于點(diǎn)，交于，則

則

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S隨m的增大而增大；當(dāng)時(shí)，S隨m的增大而減小

則此時(shí)S的最大值為，最小值為

即有

②當(dāng)時(shí)

如圖2，過作軸于點(diǎn)，交延長線于，則

則

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S隨m的增大而減小

則此時(shí)S的最大值為，最小值為

即有

由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得如下結(jié)論：

當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的點(diǎn)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有1個(gè)，即共有1個(gè)

當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有2個(gè)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有1個(gè)，即共有3個(gè)

當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有1個(gè)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有1個(gè)，即共有2個(gè)

當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的點(diǎn)，在范圍內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)有1個(gè)，即共有1個(gè)

由此可知，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)

在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，

在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，解得或（不符題設(shè)，舍去）

綜上，存在一個(gè)的值，使得相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)，這個(gè)的值為16，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．