【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于點,與x軸負半軸交于B,與正半軸交于點,且

1)求該二次函數(shù)解析式;

2)若是線段上一動點,作,交于點,連結(jié)當(dāng)面積最大時,求點的坐標(biāo);

3)若點軸上方的拋物線上的一個動點,連接,設(shè)所得的面積為.問:是否存在一個的值,使得相應(yīng)的點有且只有個,若有,求出這個的值,并求此時點的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2;(3)存在一個的值,使得相應(yīng)的點有且只有個,這個的值為16,此時點的橫坐標(biāo)為4

【解析】

1)先根據(jù)點A、C的坐標(biāo)得出OAOC的長,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出OB的長,從而可得點B的坐標(biāo),然后根據(jù)點BC的坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)解析式的交點式,最后將點A的坐標(biāo)代入求解即可得;

2)先根據(jù)點B、C的坐標(biāo)求出BC的長,從而可得面積,設(shè),則,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得面積,然后利用面積減去面積可得面積,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得;

3)先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設(shè),從而可得,再分兩種情況,分別求出Sm之間的函數(shù)表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍,找出符合條件的S值即可.

1

,即

解得

B的坐標(biāo)為

可設(shè)二次函數(shù)的解析式為

代入得:

解得

則二次函數(shù)的解析式為

故二次函數(shù)的解析式為

2

設(shè),則

,即

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時,取得最大值,最大值為

故當(dāng)面積最大時,點的坐標(biāo)為

3)設(shè)直線AC的解析式為

,解得

直線AC的解析式為

設(shè)

因為點軸上方的拋物線上的一個動點

所以

由題意,分以下兩種情況:

①當(dāng)

如圖1,過軸于點,交,則

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時,Sm的增大而增大;當(dāng)時,Sm的增大而減小

則此時S的最大值為,最小值為

即有

②當(dāng)

如圖2,過軸于點,交延長線于,則

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時,Sm的增大而減小

則此時S的最大值為,最小值為

即有

由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得如下結(jié)論:

當(dāng)時,在范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的點,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點1個,即共有1

當(dāng)時,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點2個,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點1個,即共有3

當(dāng)時,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點1個,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點1個,即共有2

當(dāng)時,在范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的點,在范圍內(nèi)相應(yīng)的點1個,即共有1

由此可知,當(dāng)時,相應(yīng)的點有且只有

范圍內(nèi),當(dāng)時,

范圍內(nèi),當(dāng)時,,解得(不符題設(shè),舍去)

綜上,存在一個的值,使得相應(yīng)的點有且只有個,這個的值為16,此時點的橫坐標(biāo)為4

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線段MN的長;

②△PAB的周長;

③△PMN的面積;

直線MN,AB之間的距離;

⑤∠APB的大。

其中會隨點P的移動而變化的是( )

A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤

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