【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn)A,與軸交點(diǎn)C,拋物線過A,C兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)時(shí),求sin∠EBA的值.
(3)點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),在(2)的條件下,若點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使以M,N,E,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),(2)或 ,(3)存在;(2,﹣10)或(﹣4,﹣10)或(0,6)
【解析】
(1)先由直線解析式求出點(diǎn)A、C坐標(biāo),再將所求坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,求解可得;
(2)先求出B(1,0),設(shè)E(t,),作EH⊥x軸、FG⊥x軸,知EH∥FG,由EF=BF知,結(jié)合BH=1-t可得,據(jù)此知F(,),從而得出方程,解方程得出點(diǎn)E坐標(biāo),再進(jìn)一步求解可得;
(3)分EB為平行四邊形的邊和EB為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況,其中EB為平行四邊形的邊時(shí)再分點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別求解可得.
解:(1)在y=2x+6中,當(dāng)x=0時(shí)y=6,當(dāng)y=0時(shí)x=﹣3,
∴C(0,6)、A(﹣3,0),
∵拋物線的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn),
,解得:,
∴拋物線的解析式為;
(2)令﹣2x2﹣4x+6=0,
解得∴B(1,0),
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t,∴E(t,),
如圖,過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G,則EH∥FG,
,
,
,
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為,
直線AC的解析式為y2x6,
,
,
∴t2+3t+2=0,解得
當(dāng)t=﹣2時(shí),
當(dāng)t=﹣1時(shí),
∴
當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,6)時(shí),在Rt△EBH中,EH=6,BH=3,
,
;
同理,當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1,8)時(shí),
,
∴sin∠EBA的值為或;
(3)存在,且M的坐標(biāo)為(2,﹣10)或(﹣4,﹣10)或(0,6).
∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸上,∴xN=﹣1,
①當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí),分兩種情況:
(Ⅰ)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),BN為對(duì)角線,
∵E,B(1,0),
∴由平移的性質(zhì)得xM==2,
當(dāng)x=2時(shí),y=
∴M(2,﹣10);
(Ⅱ)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),BM為對(duì)角線,
∵xN=﹣1,B(1,0),E(﹣2,6),
∴由平移的性質(zhì)得xM==﹣4,
當(dāng)x=﹣4時(shí),y=
∴M(﹣4,﹣10);
②當(dāng)EB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
∵B(1,0),E,xN=,
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:1+(﹣2)=﹣1+xM,
∴xM=0,
當(dāng)x=0時(shí),y=6,
∴M(0,6);
綜上所述,M的坐標(biāo)為(2,﹣10)或(﹣4,﹣10)或(0,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,l是經(jīng)過A(2,0),B(0,b)兩點(diǎn)的直線,且b0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí),過點(diǎn)C作CD⊥l交于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D,O之間的距離;
(2)當(dāng)tan∠CDO=時(shí),求直線l的解析式;
(3)在(2)的條件下,直接寫出△ACD與△AOB重疊部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2―mx―n的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)B的坐標(biāo)是.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)是,點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖像上的動(dòng)點(diǎn),連接CD、CF,以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF.設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S.
①求S的最大值;
②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖像上時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖,燈柱BC的高為10米,燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°.路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE的長(zhǎng)為13.3米,從D、E兩處測(cè)得路燈A的仰角分別為α和45°,且tanα=6.求燈桿AB的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店老板到廠家選購(gòu)、兩種品牌的羽絨服,品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)比品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)多元,若用元購(gòu)進(jìn)種羽絨服的數(shù)量是用元購(gòu)進(jìn)種羽絨服數(shù)量的倍.
(1)求、兩種品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)分別為多少元?
(2)若品牌羽絨服每件售價(jià)為元,品牌羽絨服每件售價(jià)為元,服裝店老板決定一次性購(gòu)進(jìn)、兩種品牌羽絨服共件,在這批羽絨服全部出售后所獲利潤(rùn)不低于元,則最少購(gòu)進(jìn)品牌羽絨服多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與x軸負(fù)半軸交于B,與正半軸交于點(diǎn),且.
(1)求該二次函數(shù)解析式;
(2)若是線段上一動(dòng)點(diǎn),作,交于點(diǎn),連結(jié)當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)為軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,設(shè)所得的面積為.問:是否存在一個(gè)的值,使得相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè),若有,求出這個(gè)的值,并求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“全民防控新冠病毒”期間某公司推出一款消毒產(chǎn)品,成本價(jià)8元/千克,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,該產(chǎn)品的日銷售量(千克)與銷售單價(jià)(元/千克)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,該產(chǎn)品的日銷售量與銷售單價(jià)幾組對(duì)應(yīng)值如表:
銷售單價(jià)(元/千克) | 12 | 16 | 20 | 24 |
日銷售量(千克) | 220 | 180 | 140 |
(注:日銷售利潤(rùn)日銷售量(銷售單價(jià)成本單價(jià))
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式(不要求寫出的取值范圍);
(2)根據(jù)以上信息,填空:
①_______千克;
②當(dāng)銷售價(jià)格_______元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大,最大值是_______元;
(3)該公司決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐贈(zèng)100元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象,為了保證捐贈(zèng)后每天的剩余利潤(rùn)不低于1500元,試確定該產(chǎn)品銷售單價(jià)的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格圖形中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).從一個(gè)格點(diǎn)移動(dòng)到與之相距的另一個(gè)格點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為一次跳馬變換.例如,在的正方形網(wǎng)格圖形中(如圖1),從點(diǎn)經(jīng)過一次跳馬變換可以到達(dá)點(diǎn),,,等處現(xiàn)有的正方形網(wǎng)格圖形(如圖2),則從該正方形的頂點(diǎn)經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對(duì)的頂點(diǎn),最少需要跳馬變換的次數(shù)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如圖1,若直線AD與BC相交于M,過點(diǎn)B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長(zhǎng)BD至E,使得DE=DC,過點(diǎn)E作EF⊥CD于F,證明:AD=EF+BD.
(2)如圖2,若直線AD與CB的延長(zhǎng)線相交于M,過點(diǎn)B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長(zhǎng)BD至E,使得DE=DC,過點(diǎn)E作EF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F,探究:AD、EF、BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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