Question

【數(shù)學(xué)思考】
如圖1，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【問題解決】
如圖2，過點B作BB′⊥l₂，且BB′等于河寬，連接AB′交l₁于點M，作MN⊥l₁交l₂于點N，則MN就為橋所在的位置．
【類比聯(lián)想】
（1）如圖3，正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求證：AF=EG．
（2）如圖4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，設(shè)y=

HF

EG

，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
【拓展延伸】
如圖5，一架長5米的梯子斜靠在豎直的墻面OE上，初始位置時OA=4米，由于地面OF較光滑，梯子的頂端A下滑至點C時，梯子的底端B左滑至點D，設(shè)此時AC=a米，BD=b米．
（3）當(dāng)a=

 

 米時，a=b．
（4）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時，a＜b？請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過點作DH⊥AF交AB于點H，則有∠1+∠2=90°，故四邊形DGEH是平行四邊形，再由ASA定理得出△ABF≌△DAH，由此可得出結(jié)論；
（2）作DM∥GE交AB于點M，作AN∥HF交BC于點N，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠1+∠2=90°，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形可知∠3+∠2=90°，由相似三角形的性質(zhì)得出△ABN∽△DAM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）過點B作DC的平行線，過點C作OF的平行線，兩線交于點P，連接AP，由題意可得DBPC為平行四邊形，故可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等邊對等角可知∠3＜∠5，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖3，過點作DH⊥AF交AB于點H，則有∠1+∠2=90°．
∵GE⊥AF，
∴DH∥GE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，
∴∠3=∠1，四邊形DGEH是平行四邊形．
∴DH=GE，
在△ABF與△DAH中，
∵

∠3=∠1 AB=AD ∠B=∠DAH

∴△ABF≌△DAH，
∴DH=AF，
∴AF=GE；

（2）解：作DM∥GE交AB于點M，作AN∥HF交BC于點N（如圖4）．
∵EG⊥HF，
易得DM⊥AN，
∴∠1+∠2=90°．
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1，且四邊形ANFH及四邊形MEGD均為平行四邊形，
∴AN=HF，DM=EG．
∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，
∴△ABN∽△DAM，
∴

AN

DM

=

HF

EG

=

AB

DA

=

AB

BC

，
即y=

2

x

；

（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．
∴Rt△DOC中，DC²=（4-a）²+（3+b）²，
即（4-a）²+（3+b）²=5²．
當(dāng)a=b時，有（4-a）²+（3+a）²=25，
解得a=1或a=0（不合）．
故答案為：1；

（4）當(dāng)0＜a＜1時，a＜b．理由如下：
如圖5，過點B作DC的平行線，過點C作OF的平行線，兩線交于點P，連接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，
∴DBPC為平行四邊形，
∴BP=DC，CP=BD．
又AB=DC，
∴BP=AB．
∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，
∴∠3＜∠4．
又∵∠5=∠4，
∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3=

OB

AB

=

3

5

；
同理sin∠5=

OC

CD

=

4-a

5

，
∴

4-a

5

＞

3

5

，
即0＜a＜1．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大．