Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，兩條中線BD和CE相交于點F．
（1）試探究BF與DF的數量關系并證明；
（2）若BC=8，CE=5，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接DE，根據三角形中位線定理得到DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，根據相似三角形的性質解答即可；
（2）根據三角形的中線的性質和勾股定理求出BD的長，根據（1）中結論解答．

解答 解：（1）連接DE，
∵BD和CE是△ABC的中線，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△FED∽△FCB，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{BC}{DE}$=2，
∴BF=2DF；
（2）∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中線，
∴AB=2CE=10，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵BD是△ABC的中線，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{73}$．

點評 本題考查的是三角形的重心和勾股定理的應用，掌握三角形的重心的概念和性質以及三角形中位線定理、相似三角形的性質是解題的關鍵．