Question

【題目】在同一平面內(nèi)，若點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)連接形成的三角形都是等腰三角形，則稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn).

（1）如圖1，求作△ABC的巧妙點(diǎn)P（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）如圖2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙點(diǎn)P （尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出∠BPC的度數(shù)是 .

（3）等邊三角形的巧妙點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（ ）

A.2 B.6 C.10 D.12

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 40°,160° ，140° ，80°;(3)C.

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，巧妙點(diǎn)必在某條邊的垂直平分線上，所以只需要作出兩邊的垂直平分線即可找到巧妙點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意分別以A、C為圓心，AC為半徑畫圓，交BC邊的垂直平分線的點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接兩圓的交點(diǎn)與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)也為點(diǎn)P，最后分類討論即可求∠BPC的度數(shù)；
（3）分別以等邊三角形的三條邊作其垂直平分線，再分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，等邊三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓，分別與三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為等邊三角形的巧妙點(diǎn).

解：（1）作BC邊的垂直平分線：分別以B、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接其圓弧的交點(diǎn)；
同理作AB邊的垂直平分線：分別以A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑，連接其圓弧的交點(diǎn)；
AB邊的垂直平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為巧妙點(diǎn)P.

∴點(diǎn)P為所求.

（2）作BC邊上的垂直平分線，再分別以A、C為圓心，AC為半徑畫圓，交BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)從上至下依次為 ,連接兩圓的交點(diǎn)，交CB邊的垂直平分線的交點(diǎn)為， 即為所求.

①接,
∵,
∴,
∵
∴；
②連接,
∵是AC、BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴
∴,

即：
③接 ,
∵,為BC邊上的垂直平分線，
∴
∵,
∴
∴；
④連接，
∵,,為BC邊上的垂直平分線,
∴,
∴,；
綜上所述的度數(shù)可能為.

（3）分別以等邊三角形的三條邊作其對(duì)應(yīng)邊的垂直平分線，再分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，等邊三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓，分別與三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)和三條垂直平分線的交點(diǎn)即為等邊三角形的巧妙點(diǎn).如下圖：巧妙點(diǎn)P有10個(gè)，故選C.