【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點A,與直線y=﹣x交于點B,點B關(guān)于原點的對稱點為點C.
(Ⅰ)求過B,C兩點的拋物線y=ax2+bx﹣1解析式;
(Ⅱ)P為拋物線上一點,它關(guān)于原點的對稱點為Q.
①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時,求點P的坐標(biāo);
②若點P的橫坐標(biāo)為t(﹣1<t<1),當(dāng)t為何值時,四邊形PBQC面積最大?最大值是多少?并說明理由.
【答案】(Ⅰ)拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1;(Ⅱ)①P點坐標(biāo)為(1﹣,1﹣)或(1+,1+);②當(dāng)t=0時,四邊形PBQC的面積最大,最大值為2,理由見解析.
【解析】
(Ⅰ)首先求出A、B、C三點坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(Ⅱ)①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時,可知PQ⊥BC,則可求得直線PQ的解析式,聯(lián)立拋物線解析式可求得P點坐標(biāo);
②過P作PD⊥BC,垂足為D,作x軸的垂線,交直線BC于點E,由∠PED=∠AOC,可知當(dāng)PE最大時,PD也最大,用t可表示出PE的長,可求得取最大值時的t的值.
(Ⅰ)聯(lián)立兩直線解析式可得,
解得,
∴B點坐標(biāo)為(﹣1,1),
又C點為B點關(guān)于原點的對稱點,
∴C點坐標(biāo)為(1,﹣1),
∵直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點A,
∴A點坐標(biāo)為(0,﹣1),
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
把A、B、C三點坐標(biāo)代入可得,
解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1;
(Ⅱ)①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時,則PQ⊥BC,
∵直線BC解析式為y=﹣x,
∴直線PQ解析式為y=x,
聯(lián)立拋物線解析式可得,
解得或,
∴P點坐標(biāo)為(1﹣,1﹣)或(1+,1+);
②當(dāng)t=0時,四邊形PBQC的面積最大.
理由如下:
如圖,過P作PD⊥BC,垂足為D,作x軸的垂線,交直線BC于點E,
則S四邊形PBQC=2S△PBC=2×BCPD=BCPD,
∵線段BC長固定不變,
∴當(dāng)PD最大時,四邊形PBQC面積最大,
又∠PED=∠AOC(固定不變),
∴當(dāng)PE最大時,PD也最大,
∵P點在拋物線上,E點在直線BC上,
∴P點坐標(biāo)為(t,t2﹣t﹣1),E點坐標(biāo)為(t,﹣t),
∴PE=﹣t﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+1,
∴當(dāng)t=0時,PE有最大值1,此時PD有最大值,PD的最大值=,
∴四邊形PBQC的面積最大值=.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點,其中點A坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖①,連接AC,點P在拋物線上,且滿足∠PAB=2∠ACO.求點P的坐標(biāo);
(3)如圖②,點Q為x軸下方拋物線上任意一點,點D是拋物線對稱軸與x軸的交點,直線AQ、BQ分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問DM+DN是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】一輛汽車行駛時的耗油量為0.1升/千米,如圖是油箱剩余油量(升)關(guān)于加滿油后已行駛的路程(千米)的函數(shù)圖象.
(1)根據(jù)圖象,直接寫出汽車行駛400千米時,油箱內(nèi)的剩余油量,并計算加滿油時油箱的油量;
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并計算該汽車在剩余油量5升時,已行駛的路程.
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【題目】在國家的宏觀調(diào)控下,某市的商品房成交價由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2.
(1)問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少?
(2)如果房價繼續(xù)回落,按此降價的百分率,你預(yù)測到7月分該市的商品房成交均價是否會跌破3000元/m2?請說明理由.
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【題目】在一次初中生田徑運動會上,根據(jù)參加男子跳高初賽的運動員的成績(單位:m),繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(Ⅰ)圖①中a的值為 ;
(Ⅱ)求統(tǒng)計的這組初賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位);
(Ⅲ)根據(jù)這組初賽成績,由高到低確定7人進(jìn)入復(fù)賽,請直接寫出初賽成績?yōu)?/span>1.60m的運動員能否進(jìn)入復(fù)賽.
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【題目】已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,于點F,交⊙O于點E,AC交BE于點H,點D為OE延長線上的一點,且∠ODA=∠BEC.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)求證:;
(3)若⊙O的半徑為5,,求AH的長.
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【題目】某地質(zhì)量監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)的甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的某同類產(chǎn)品進(jìn)行檢查,分別隨機(jī)抽取了50件產(chǎn)品并對某一項關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)做檢測,獲得了它們的質(zhì)量指標(biāo)值s,并對樣本數(shù)據(jù)(質(zhì)量指標(biāo)值s)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.該質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下:
說明:等級是一等品,二等品為質(zhì)量合格(其中等級是一等品為質(zhì)量優(yōu)秀);等級是次品為質(zhì)量不合格.
b.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下(不完整):
c.乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下:
d.兩企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差如下:
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)的值為__________,的值為______________;
(2)若從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,估計該產(chǎn)品質(zhì)量合格的概率為_____________;
若乙企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品共5萬件,估計質(zhì)量優(yōu)秀的有_____________萬件;
(3)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),你認(rèn)為___________企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量較好,理由為:__________________.(至少從兩個角度說明推斷的合理性)
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【題目】某超市促銷活動,將三種水果采用甲、乙、丙三種方式搭配裝進(jìn)禮盒進(jìn)行銷售.每盒的總成本為盒中三種水果成本之和,盒子成本忽略不計.甲種方式每盒分別裝三種水果;乙種方式每盒分別裝三種水果 .甲每盒的總成本是每千克 水果成本的倍,每盒甲的銷售利潤率為;每盒甲比每盒乙的售價低;每盒丙在成本上提高標(biāo)價后打八折出售,獲利為每千克 水果成本的倍.當(dāng)銷售甲、乙、丙三種方式搭配的禮盒數(shù)量之比為時,則銷售總利潤率為__________.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,在下列五個結(jié)論中:
①2a﹣b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a﹣b+c>0;⑤4a+2b+c>0,
錯誤的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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