Question

【題目】某高科技發(fā)展公司投資500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬(wàn)元進(jìn)行批量生產(chǎn)，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元．在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，年銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利（年獲利=年銷售額－生產(chǎn)成本－投資）為z（萬(wàn)元）．

（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）；

（2）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）；

（3）計(jì)算銷售單價(jià)為160元時(shí)的年獲利，并說(shuō)明同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬(wàn)件？

（4）公司計(jì)劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價(jià)，進(jìn)行銷售；第二年年獲利不低于1130萬(wàn)元．請(qǐng)你借助函數(shù)的大致圖象說(shuō)明，第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】(1) y=－x+30; (2) z=－x2+34x－3200; (3) 14萬(wàn)件和12萬(wàn)件;(4)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）銷售單價(jià)為x元，用x表示出年銷售量和每件產(chǎn)品銷售利潤(rùn)；

（2）利用每件產(chǎn)品銷售利潤(rùn)×年銷售量=年獲利列出函數(shù)解答；

（3）由題意易得Z與x之間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)x=160時(shí)則可推出x2-340x+28800=0，解得x的值．再分別把x的兩個(gè)值代入y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（4）利用配方法求得第一年按獲利最大的銷售單價(jià)，求得第二年的年獲利函數(shù)，畫出圖象，利用圖象解答即可．

（1）依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少（x-100）萬(wàn)件．

∴y=20-（x-100）=-x+30．

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-x+30．

（2）由題意，得：z=（30-x）（x-40）-500-1500=-x2+34x-3200．

即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：z=-x2+34x-3200．

（3）當(dāng)x=160時(shí)，z=×1602+34×1603200=320，

令320=x2+34x3200，

整理，得x2-340x+28800=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x=180，即同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可以定為180元，

（4）∵z=x2+34x3200= (x170)2310

∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，最大值為-310

故第一年的銷售單價(jià)定為170元/件，

∴當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=x2+34x1510，

整理得x2-340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函數(shù)z=-x2+34x-1510的圖象大致如圖所示：

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130．

故第二年銷售量單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍．