Question

如圖1，一張菱形紙片EHGF，點(diǎn)A、D、C、B分別是EF、EH、HG、GF邊上的點(diǎn)，連接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=

3

，AB=

6

；如圖2，若將△FAB、△AED、△DHC、△CGB分別沿AB、AD、DC、CB對(duì)折，點(diǎn)E、F都落在DB上的點(diǎn)P處，點(diǎn)H、G都落在DB上的點(diǎn)Q處．
（1）求證：四邊形ADCB是矩形；
（2）求菱形紙片EHGF的面積和邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,勾股定理,菱形的性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）由對(duì)折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，利用等角關(guān)系可求出∠BAD=90°，同理可求出∠ADC=∠ABC=90°．即可得出四邊形ADCB是矩形．
（2）由對(duì)折可知S_菱形EHGF=2S_矩形ADCB即可求出EHGF的面積，由對(duì)折可得出點(diǎn)A，C為中點(diǎn)，連接AC，得FG=AC=BD．利用勾股定理就可得出邊長．

解答：（1）證明：由對(duì)折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，
∴2（∠PAB+∠PAD）=180°，
即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°．
同理可得，∠ADC=∠ABC=90°．
∴四邊形ADCB是矩形．
（2）解：由對(duì)折可知：△AEB≌△APB，△AFD≌△APD，△CGD≌△CQD，△CHB≌△CQB．
∴S_菱形EHGF=2S_矩形ADCB=2×

3

×

6

=6

2

．
又∵AE=AP=AF，
∴A為EF的中點(diǎn)．同理有C為GH的中點(diǎn)．即AF=CG，
且AF∥CG，如圖2，連接AC，

∴四邊形ACGF為平行四邊形，得FG=AC=BD．
∴FG=

( 3 )2+( 6 )2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換，勾股定理，菱形的性質(zhì)及矩形的判定，解題的關(guān)鍵是折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．