Question

點D為Rt△ACB邊BC延長線上一點，點E在邊AC上，點M、N分別為線段AB、AE的中點，連接DE、DA，∠ACB=90°，∠B=∠CED．
（1）若∠B=45°，如圖1，求證：MN=

1

2

AD；
（2）在（1）的條件下，連接BE并延長BE交線段AD于點F，連接FC，如圖2，請你判斷線段FE、FC與線段FD之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接DE交FC于點G，若MN：DE=

5

：2，四邊形MNEB的面積為

9

2

，求GE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)已知條件求得BC=AC，CE=CD，然后證明△BCE≌△ACD得出BE=AD，因為MN是三角形ABE的中位線，MN=

1

2

BE，所以MN=

1

2

AD；
（2）先證得A、B、C、F共圓，再證△AEB∽△FEC，△FCD∽△BDA，得出FE=

AE

AB

•FC，F(xiàn)D=

BD

AB

•FC，因為AE+BD=AC-EC+BC+CD=2AC，AB=

2

AC，所以

AE+BD

AB

=

2AC

AB

=

2AC

2 AC

=

2

，進而證得FE+FD=

AE+BD

AB

•FC=

2AC

AB

•FC=

2AC

2 AC

•FC=

2

FC=

2

FC；
（3）根據(jù)MN：DE=

5

：2，設(shè)MN=

5

a，DE=2a，進而求得BE=2

5

a，EC=

2

a，BC=3

2

a，根據(jù)三角形面積的比等于相似比的平方結(jié)合四邊形MNEB的面積為

9

2

，求得a=1，進而求得BE=2

5

，EC=CD=

2

，BC=3

2

，ED=2，AE=2

2

，EF=

2 5

5

，AF=

6 5

5

，DF=

4 5

5

，通過△AEF∽△ADC，得出AE：AF=AD：AC，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的三角形相似證得△AED∽△AFC，得出∠ACF=∠ADE，進而得出∠CEG=∠CFD=45°，∠EFC=45°，作EP⊥FC，DQ⊥FC，根據(jù)勾股定理求得EP，DQ的長，最后根據(jù)△EGP∽△DGQ，對應(yīng)邊成比例即可求得GE的長．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=∠CED，∠B=45°，
∴BC=AC，CE=CD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD=90° CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，
∵點M、N分別為線段AB、AE的中點，
∴MN=

1

2

BE，
∴MN=

1

2

AD；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠EAF，
∵∠BEC=∠AEF，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A、B、C、F共圓，
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠AEB=∠FEC，
∴△AEB∽△FEC，
∴FE：AE=FC：AB，
∴FE=

AE

AB

•FC，
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠FCD+∠ACF=90°，
∴∠FCD=∠BAD，
∵∠FDC=∠BDA，
∴△FCD∽△BDA，
∴FD：BD=FC：AB，
∴FD=

BD

AB

•FC
∴FE+FD=

AE+BD

AB

•FC，
∵AC=BC，CE=CD，
∴AE+BD=AC-EC+BC+CD=2AC，
∵在RT△ABC中，AB=

2

AC，
∴

AE+BD

AB

=

2AC

AB

=

2AC

2 AC

=

2

，
∴FE+FD=

2

FC；

（3）∵MN：DE=

5

：2，
∴設(shè)MN=

5

a，DE=2a，
∴BE=2MN=2

5

a，EC=

2

2

ED=

2

a，
∴BC=

BE2-EC2

=3

2

a，
∵MN=

1

2

BE，
∴

S△AMN

S△ABE

=

1

4

，
∴

S△AMN

S四邊形MNEB

=

1

3

，
又∵四邊形MNEB的面積為

9

2

，
∴S_△ABE=6，
∵S_△BCE=

1

2

BC•EC=

1

2

×3

2

a×

2

a=3a²，S_△ABC=

1

2

BC²=9a²，S_△ABE+S_△BCE=S_△ABC，
∴6+3a²=9a²，解得：a=1，
∴BE=2

5

，EC=CD=

2

，BC=3

2

，ED=2，
∴AE=2

2

，EF=

2 5

5

，AF=

6 5

5

，DF=

4 5

5

，
∵∠AFE=∠ACD=90°，∠EAF=∠DAC，
∵△AEF∽△ADC，
∴AE：AF=AD：AC，
∵∠FAC=∠EAD，
∴△AED∽△AFC，
∴∠ACF=∠ADE，
∴∠CEG=∠CFD=45°，
∵∠BFD=90°，
∴∠EFC=45°，
作EP⊥FC，DQ⊥FC
∴EP=

2

2

EF=

2

2

×

2 5

5

=

10

5

，DQ=

2

2

DF=

2

2

×

4 5

5

=

2 10

5

，
∴△EGP∽△DGQ，
∴EP：DQ=EG：DG=1：2，
∴EG=

1

3

ED=

1

3

×2=

2

3

，
所以EG=

2

3

；

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形相似的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等，本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理以及三角形相似的判定定理．