Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為．

【解析】

（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；

（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況，利用方程或方程組求解即可得到答案；

（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．

解：（1） 拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

設(shè)

即：﹣12a＝4，解得：

則拋物線的表達(dá)式為

（2）存在，理由：

點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），

則AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線AC的表達(dá)式為：，

①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如圖1，

則AC＝AQ＝5，

設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，

由勾股定理得：

解得：n＝3或4（舍去4），

故點(diǎn)Q（1，3）；

②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，如圖1，

CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝

則QM＝MB＝，

故點(diǎn)Q（，）；

③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則在的垂直平分線上，

設(shè)直線AC的中點(diǎn)為K（，2），

過點(diǎn) 與CA垂直直線的表達(dá)式中的k值為，

直線的表達(dá)式為： ②，

聯(lián)立①②并解得：（舍去）；

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；

（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN＝

∵

∴PN有最大值，

當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為：．