Question

已知，矩形ABCD中．
（1）如圖1，分別沿AF、CE將AC兩側(cè)紙片折疊，使點(diǎn)B、D分別落在AC上的G、H處，則四邊形AFCE為

 

形；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=4cm，BC=8cm，BF=3cm，動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．
①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在FB上運(yùn)動，而點(diǎn)Q在DE上運(yùn)動時，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），若四邊形APCQ是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形判定推出即可；
（2）①分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；
②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

解答：解：（1）四邊形AFCE為菱形；
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時，Q點(diǎn)在CD上，此時A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)在AB上時，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

．
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，t=

4

3

秒．

②由題意得，以A，C，P，Q四點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)P、Q在相互平行的對邊上，分三種情況：
Ⅰ如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AF上，Q點(diǎn)在CE上時，AP=CQ，即a=12-b，得：a+b=12；
Ⅱ如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在DE上時，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
Ⅲ如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上時，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12（ab≠0）．

點(diǎn)評：本題考查的是四邊形綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，判斷出以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．