已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為10，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AE•AC，BD=16．
（1）求證：△ABE∽△ACB；
（2）求△ABD的面積．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理
專題：
分析：（1）連接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE•AC，易證得△ABE∽△ACB；
（2）由（1）可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根據(jù)垂徑定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=6，則AF=4，由此可求得△ABD的面積．
解答：（1）證明：如圖，

連接OA、OB，交DB于F；
∵AB2=AE•AC，即
AB
AC
=
AE
AB
；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；

（2）解：∵△ABE∽△ACB，
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，
∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，
∴OA⊥BD，且F為BD的中點(diǎn)；
∴BF=8；
在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，
∴OF=6；
而OA=10，
∴AF=4；
∴S△ABD=
1
2
BD×AF=16．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，∠ADE=∠B．設(shè)BD的長為x，CE的長為y．
（1）當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，矩形ABCD中．
（1）如圖1，分別沿AF、CE將AC兩側(cè)紙片折疊，使點(diǎn)B、D分別落在AC上的G、H處，則四邊形AFCE為
 
形；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=4cm，BC=8cm，BF=3cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．
①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在FB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時(shí)t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），若四邊形APCQ是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)C1：y=x2+（2m+1）x+m2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）若不論m為何值，二次函數(shù)C1圖象的頂點(diǎn)D均在某一函數(shù)的圖象上，直接寫出此函數(shù)的解析式；
（2）若二次函數(shù)C1的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為M、N，設(shè)△MNC的外接圓的圓心為P．試說明⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)Q為定點(diǎn)，并判斷該定點(diǎn)Q是否在（1）中所求函數(shù)的圖象上；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，將拋物線C1向下平移n（n＞0）個(gè)單位，得到拋物線C2，直線DC與拋物線C2交于A、B兩點(diǎn)，若AD+CB=DC，求n的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解方程：
（1）3x2-7x=0
（2）2x2-6x+1=0．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)E在直線AB外，請(qǐng)用三角板與直尺畫圖，并回答第（3）題：
（1）過E作直線CD，使CD∥AB；
（2）過E作直線EF，使EF⊥AB，垂足為F；
（3）請(qǐng)判斷直線CD與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AC⊥BC，D是BC延長線上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED，∠A=∠D．
（1）求證：△ABC∽△DEC；
（2）若AC=3，AE=1，BC=4，求DE長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一橋梁建設(shè)工地上有一架吊車，底座高AB=1.5米，吊臂長BC=18米，它與地面保持成30°角，現(xiàn)要將一個(gè)底面圓直徑為8米，高為2米的圓柱體的鋼筋混凝土框架，安裝到離地面高度為6米的橋基上，問這架吊車能否完成這安裝任務(wù)？請(qǐng)說明理由．（說明：圖中鋼索CO吊在長方體框架的上底面的中心處）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等腰△ABC中，AB=6cm，∠A=30°，則AB邊上的高是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案