【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊,頂點(diǎn)B恰好與CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P重合(點(diǎn)P不與點(diǎn)C,D重合),折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上,連接MB,MP,BP,BP與MN相交于點(diǎn)F.

(1)求證:BFN∽△BCP;

(2)在圖2中,作出經(jīng)過M,D,P三點(diǎn)的O(要求保留作圖痕跡,不寫做法);

設(shè)AB=4,隨著點(diǎn)P在CD上的運(yùn)動(dòng),若中的O恰好與BM,BC同時(shí)相切,求此時(shí)DP的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)作圖見解析;3

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,MN垂直平分線段BP,即BFN=90°,由矩形的性質(zhì)可得出C=90°=BFN,結(jié)合公共角FBN=CBP,即可證出BFN∽△BCP;

(2)在圖2中,作MD、DP的垂直平分線,交于點(diǎn)O,以O(shè)D為半徑作圓即可;

設(shè)O與BC的交點(diǎn)為E,連接OB、OE,由MDP為直角三角形,可得出AP為O的直徑,根據(jù)BM與O相切,可得出MPBM,進(jìn)而可得出BMP為等腰直角三角形,根據(jù)同角的余角相等可得出PMD=MBA,結(jié)合A=PMD=90°、BM=MP,即可證出ABM≌△DMP(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DM=AB=4、DP=AM,設(shè)DP=2a,根據(jù)勾股定理結(jié)合半徑為直徑的一半,即可得出關(guān)于a的方程,解之即可得出a值,再將a代入OP=2a中求出DP的長度.

試題解析:(1)證明:將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊,頂點(diǎn)B恰好與CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P重合,MN垂直平分線段BP,∴∠BFN=90°.

四邊形ABCD為矩形,∴∠C=90°.

∵∠FBN=CBP,∴△BFN∽△BCP.

(2)解:在圖2中,作MD、DP的垂直平分線,交于點(diǎn)O,以O(shè)D為半徑作圓即可.如圖所示.

設(shè)O與BC的交點(diǎn)為E,連接OB、OE,如圖3所示.

∵△MDP為直角三角形,AP為O的直徑,BM與O相切,MPBM.

MB=MP,∴△BMP為等腰直角三角形.

∵∠AMB+PMD=180°﹣AMP=90°,MBA+AMB=90°,∴∠PMD=MBA.

ABM和DMP中,∵∠MBA=PMD,A=PMD=90°,BM=MP∴△ABM≌△DMP(AAS),DM=AB=4,DP=AM.

設(shè)DP=2a,則AM=2a,OE=4﹣a,BM= =

BM=MP=2OE,=2×(4﹣a),解得:a=,DP=2a=3.

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車速(km/h)

48

49

50

51

52

車輛數(shù)(輛)

5

4

8

2

1

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