20.如圖,△ABC中,∠C=90°.
(1)在BC邊上作一點P,使得點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,若AC=8,BC=6,求CP的長.

分析 (1)作∠BAC的平分線交BC于P點,則點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等;
(2)作PD⊥AB于點,如圖,根據(jù)角平分線性質(zhì)得PD=PC,則可證明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8,再利用勾股定理計算出AB=10,則BD=2,設(shè)PC=x,則PD=x,BP=6-x,在Rt△BDP中,利于勾股定理得(6-x)2=x2+22,然后解方程即可.

解答 解:(1)如圖,點P即為所求;
(2)作PD⊥AB于點,如圖,
∵AP平分∠CAB,PD⊥AB于D,∠C=90°,
∴PD=PC.
在Rt△ADP和Rt△ACP中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$,
∴Rt△ADP≌Rt△ACP(HL),
∴AD=AC=8,
在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10,
∴BD=10-8=2,
設(shè)PC=x,則PD=x,BP=6-x,
在Rt△BDP中,∵PD2+BD2=PB2
∴(6-x)2=x2+22,解得x=$\frac{8}{3}$.
答:CP的長為$\frac{8}{3}$.

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理.

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