Question

4．在矩形ABCD中，AB=3厘米，AD=4厘米，點P以每秒$\frac{4}{5}$厘米的速度在BC上從B往C運動，同時點Q以每秒1厘米的速度在CA上從C往A運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當PQ平行于AB時，求t的值；
（2）是否存在某一時刻t，使點P、Q、D三點在同一直線上？若存在，求出t；若不存在，請說明理由；
（3）當△PQC為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CQ}{CA}$=$\frac{CP}{CB}$，代入數(shù)據(jù)計算即可；
（3）分CQ=CP、QP=QC、PQ=PC三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進行計算即可．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=3厘米，AD=4厘米，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5厘米，
由題意得，BP=$\frac{4}{5}$t，CQ=t，則CP=4-$\frac{4}{5}$t，
∵PQ∥AB，
∴$\frac{CQ}{CA}$=$\frac{CP}{CB}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{4-\frac{4}{5}t}{4}$，
解得t=$\frac{5}{2}$；
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
如圖2，當點P、Q、D三點在同一直線上時，$\frac{PC}{AD}$=$\frac{CQ}{AQ}$，即$\frac{4-\frac{4}{5}t}{4}$=$\frac{t}{5-t}$，
解得t₁=$\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{15-5\sqrt{5}}{2}$，
則當t=$\frac{15-5\sqrt{5}}{2}$時，點P、Q、D三點在同一直線上；
（3）當CQ=CP時，4-$\frac{4}{5}$t=t，
解得t=$\frac{20}{9}$；
當QP=QC時，
如圖3，作QE⊥BC于E，
則PE=EC=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{4}{5}$t），
∵QE∥AB，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{2-\frac{2}{5}t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{5}{3}$；
當PQ=PC時，
如圖4，作PF⊥AC于F，
則FC=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$t，
∵PF⊥AC，∠B=90°，
∴△CFP∽△CBA，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{\frac{1}{2}t}{4}$=$\frac{4-\frac{4}{5}t}{5}$，
解得t=$\frac{160}{57}$，
綜上所述，t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{160}{57}$時，△PQC為等腰三角形．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)定理和分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．