Question

已知過原點(diǎn)O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點(diǎn)分別為P、Q，PQ交y軸于點(diǎn)K，拋物線經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）在直線y=nx+m中，當(dāng)n=0，m≠0時(shí)，y=m是平行于x軸的直線，設(shè)直線y=m與拋物線相交于點(diǎn)C、D，當(dāng)該直線與⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-直接開平方法,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),切線長(zhǎng)定理

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）由切線的性質(zhì)可得∠MPO=90°，根據(jù)勾股定理可求出PO，然后由面積法可求出PK，然后運(yùn)用勾股定理可求出OK，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）可設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax²+6，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式．
（3）直線y=m與⊙M相切有兩種可能，只需對(duì)這兩種情況分別討論就可求出對(duì)應(yīng)多邊形的面積．

解答：解：（1）如圖1，

∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵點(diǎn)M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2

3

．
∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P，⊙M與OQ相切于點(diǎn)Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=

PM•PO

OM

=

2×2 3

4

=

3

．
∴OK=

OP2-PK2

=3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，3）．

（2）如圖2，

設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax²+6，
∵點(diǎn)P（

3

，3）在拋物線y=ax²+6上，
∴3a+6=3．
解得：a=-1．
則該拋物線的解析式為y=-x²+6．

（3）當(dāng)直線y=m與⊙M相切時(shí)，
則有

.

m-4

.

=2．
解得；m₁=2，m₂=6．
①m=2時(shí)，如圖3，

則有OH=2．
當(dāng)y=2時(shí)，解方程-x²+6=2得：x=±2，
則點(diǎn)C（2，2），D（-2，2），CD=4．
同理可得：AB=2

6

．
則S_梯形ABCD=

1

2

（DC+AB）•OH=

1

2

（4+2

6

）×2=4+2

6

．
②m=6時(shí)，如圖4，
此時(shí)點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)N重合．

S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2

6

×6=6

6

．
綜上所述：點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2

6

或6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、圓的切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識(shí)，有一定的綜合性，難度適中，容易漏掉多邊形為三角形的這一情況．