Question

如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上，作AC⊥y軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D，則（　�。�

• A、AB與CD平行
• B、AB與CD相交
• C、AB與CD平行或相交
• D、以上答案都不對(duì)

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,矩形的判定與性質(zhì),比例的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：由于點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象的動(dòng)點(diǎn)，因此可分點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊、右邊兩種情況討論．易證四邊形OCED是矩形，從而有OC=ED，OD=CE．設(shè)AC=a，OC=b，OD=c，BD=d，則A（a，b），B（c，d）．由點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上得到AC•OC=OD•BD，從而有AC•ED=CE•BD，進(jìn)而可以證到△AEB∽△CED，就可得到∠EAB=∠ECD，則有AB∥CD．

解答：解：①若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)E，如圖1，
∵AC⊥y軸，BD⊥x軸，∠COD=90°，
∴∠OCE=∠COD=∠ODE=90°．
∴四邊形OCED是矩形．
∴OC=ED，OD=CE．
設(shè)AC=a，OC=b，OD=c，BD=d，
則A（a，b），B（c，d）．
∵點(diǎn)A（a，b），B（c，d）在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上，
∴ab=cd=8．
∴AC•OC=OD•BD．
∴AC•ED=CE•BD．
∴

AC

CE

=

BD

ED

．
∴

AE

CE

=

EB

ED

．
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED．
∴∠EAB=∠ECD．
∴AB∥CD．
②若點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，如圖2，
同理可得：AB∥CD．
綜上所述：AB始終與CD平行．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、比例的性質(zhì)等知識(shí)，考查了分類討論的思想，是一道好題．