Question

以點(diǎn)P（n，n²+2n+1）（n≥1）為頂點(diǎn)的拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，試求b和c的值；當(dāng)n＞1時(shí)，求b與n，c與n之間的關(guān)系式．
（2）若點(diǎn)P到AB的距離等于線段AB長的10倍，求此拋物線y=-x²+bx+c的解析式．
（3）設(shè)拋物線y=-x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)D，O為原點(diǎn)，矩形OEFD的頂點(diǎn)E、F分別在x軸和該拋物線上，當(dāng)矩形OEFD的面積為42時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，可求出P的坐標(biāo)，由此可設(shè)拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4，化為一般式左右對照即可求出b和c的值；當(dāng)n＞1時(shí)思路雷同；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出A和B的坐標(biāo)，又點(diǎn)P到x軸的距離為n²+2n+1，所以有n²+2n+1=10（2n+2），解方程求出n的值，進(jìn)而可求出拋物線解析式；
（3）根據(jù)已知條件可求出OD，DF的長，再根據(jù)矩形的面積公式可得：OD•DF=2n（2n+1）=42，求出n的值，即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4），則y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3=-x²+bx+c，
解得：b=2，c=3．
當(dāng)n＞1時(shí)，則y=-（x-n）²+n²+2n+1=-x²+2nx+2n+1=-x²+bx+c，
所以b=2n，c=2n+1．
（2）∵y=-（x-n）²+n²+2n+1=-x²+2nx+2n+1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，即-x²+2nx+2n+1=0．解得x₁=-1，x₂=2n+1．
由于點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，
∴A（-1，0）、B（2n+1，0），即AB=2n+1-（-1）=2n+2．
又∵點(diǎn)P到x軸的距離為n²+2n+1，
∴有n²+2n+1=10（2n+2）．
解得n=19或n=-1（不合，舍去），
即n=19．
故，此時(shí)拋物線的解析式為y=-x²+38x+39．
（3）如圖所示，
∵c=2n+1，
∴D（0，2n+1），
即OD=2n+1．又DF∥x軸，且D、F關(guān)于直線x=n對稱，
∴F（2n，2n+1）．有DF=2n．
從而OD•DF=2n（2n+1）=42，
解得n=3或n=-

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（不合，舍去），即n=3．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，16）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，其中第（3）中求出OD，OF的長解題是解題關(guān)鍵．