Question

2．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)C是x正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$），當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （3$\sqrt{3}$，4）
• B． （4，3$\sqrt{3}$）
• C． （4$\sqrt{3}$，3）
• D． （3，4$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，AG⊥OC于G，過D點(diǎn)作EF∥OC，交y軸于E，交AG于F，由等邊三角形的性質(zhì)得出D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，$\frac{12\sqrt{3}}{x}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0），D的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；然后根據(jù)△BED∽△DFA的性質(zhì)，得出出a、x的兩個(gè)關(guān)系式，解關(guān)系式求得x的值，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，作AD⊥BC于D，AG⊥OC于G，過D點(diǎn)作EF∥OC，交y軸于E，交AG于F，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，$\frac{12\sqrt{3}}{x}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0），
則BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
∵AD⊥BC，
∴∠BDE+∠ADF=90°，
∵∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，
∴△BED∽△DFA，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{ED}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{x-\frac{a}{2}}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{12\sqrt{3}}{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$=cot60°，
整理，可得
$\frac{1}{2}$a=$\frac{12}{x}$-$\frac{1}{2}$①，x-$\frac{a}{2}$=$\frac{3}{2}$②
由①②，解得x₁=4，x₂=-3（舍去），
∴A（4，3$\sqrt{3}$）
所以當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（4，3$\sqrt{3}$）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°；等邊三角形邊上的高是這個(gè)邊的中線．